Какое уравнение можно составить для плоскости, которая проходит через точку А и является перпендикулярной вектору

Для начала, давайте найдем вектор ВС. Для этого вычтем вектор С из вектора В:

\[\overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{В} - \overrightarrow{С}\]

\[\overrightarrow{ВС} = (1 - (-2), 2 - 3, -1 - (-3))\]

\[\overrightarrow{ВС} = (3, -1, 2)\]

Теперь, чтобы составить уравнение плоскости, нам необходимо знать два вектора, параллельных плоскости. Мы уже знаем перпендикулярный вектор ВС, а параллельный вектор можно взять, например, как вектор, построенный между точками А и В:

\[\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{В} - \overrightarrow{А}\]

\[\overrightarrow{АВ} = (1 - (-4), 2 - 2, -1 - (-1))\]

\[\overrightarrow{АВ} = (5, 0, 0)\]

Теперь мы имеем два вектора - перпендикулярный вектор ВС (3, -1, 2) и параллельный вектор АВ (5, 0, 0). Для составления уравнения плоскости воспользуемся векторным уравнением плоскости, которое имеет следующий вид:

\[\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 3 & -1 & 2 \\ 5 & 0 & 0 \end{array} \right| \cdot \left( \begin{array}{c} x - x_0 \\ y - y_0 \\ z - z_0 \end{array} \right) = 0\]

где (x, y, z) - координаты точки плоскости, \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\) - координаты точки А.

Подставим значения:

\[\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 3 & -1 & 2 \\ 5 & 0 & 0 \end{array} \right| \cdot \left( \begin{array}{c} x - (-4) \\ y - 2 \\ z - (-1) \end{array} \right) = 0\]

\[\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 3 & -1 & 2 \\ 5 & 0 & 0 \end{array} \right| \cdot \left( \begin{array}{c} x + 4 \\ y - 2 \\ z + 1 \end{array} \right) = 0\]

Раскроем определитель:

\[(5 \cdot (-1) \cdot (z + 1)) + (0 \cdot 2 \cdot (x + 4)) + (3 \cdot (y - 2) \cdot 0) - ((y - 2) \cdot (-1) \cdot 0) - (0 \cdot (-1) \cdot (x + 4)) - (3 \cdot 5 \cdot (z + 1)) = 0\]

\[-5(z + 1) + 9(y - 2) = 0\]

\[-5z - 5 + 9y - 18 = 0\]

\[-5z + 9y - 23 = 0\]

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку А(-4; 2; -1) и перпендикулярной вектору ВС(3, -1, 2), имеет вид: \(-5z + 9y - 23 = 0\).