Какое уравнение эллипса можно составить, если его фокусы находятся в точках (-4;0) и (4;0), а значение эксцентриситета

Для составления уравнения эллипса, зная его фокусы и значение эксцентриситета, нам понадобятся некоторые базовые знания о геометрии эллипса.

Эллипс - это плоская геометрическая фигура, определяемая двумя фокусами и суммой расстояний от фокусов до любой точки на эллипсе, которая остается неизменной. В данном случае фокусы находятся в точках (-4;0) и (4;0).

Исходя из определения эксцентриситета, который обозначается символом \(e\), мы имеем следующее соотношение для эллипса:

\[e = \frac{c}{a}\]

где \(c\) - расстояние от центра эллипса до фокуса, а \(a\) - половина большой оси эллипса.

Так как фокусы находятся на оси \(x\) в точках (-4;0) и (4;0), то центр эллипса будет находиться в точке \((0,0)\). Расстояние \(c\) между центром эллипса и фокусом равно половине расстояния между фокусами, то есть \(c = \frac{4-(-4)}{2} = 4\).

Мы также знаем, что эксцентриситет данного эллипса известен, обозначим его символом \(e\).

Теперь, используя полученные данные, мы можем составить уравнение эллипса. Общий вид уравнения эллипса с центром в начале координат будет следующим:

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]

где \(a\) - половина большой оси, \(b\) - половина малой оси.

На основании определения эксцентриситета \(e\) мы знаем, что \(e = \frac{c}{a}\), и поэтому \(a = \frac{c}{e}\). Подставляя значение \(c = 4\), мы можем выразить \(a\) через \(e\):

\[a = \frac{4}{e}\]

Так как фокусы находятся на оси \(x\), то большая ось параллельна оси \(x\), и, следовательно, \(b\) будет равно расстоянию от центра эллипса до любой точки на эллипсе, которая находится на оси \(y\). В данном случае это расстояние равно 4.

Таким образом, уравнение эллипса, определенного фокусами в точках (-4;0) и (4;0) и с заданным значением эксцентриситета \(e\), будет иметь вид:

\[\frac{x^2}{\left(\frac{4}{e}\right)^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1\]