Какое свойство имеет показательная функция, позволяющее сделать вывод о сохранении знака неравенства при изменении

Когда мы говорим о показательных функциях, имеется в виду функция вида \(f(x) = a^x\), где \(a\) является основанием, а \(x\) - показателем степени. Для данной функции существует одно свойство, которое позволяет сделать вывод о сохранении знака неравенства при изменении показателей.

Свойство: Если основание показательной функции положительно и больше единицы (\(a > 1\)), то при увеличении значения показателя \(x\) неравенства сохраняют свои знаки. То есть, если \(x_1 < x_2\), то \(a^{x_1} < a^{x_2}\). Аналогично, если \(x_1 > x_2\), то \(a^{x_1} > a^{x_2}\).

Для лучшего понимания позвольте мне привести пошаговое решение, которое подтверждает данное свойство.

Пусть у нас есть основание \(a = 2\) и два значения показателя: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 4\). Мы хотим определить, как меняется значение функции \(f(x) = 2^x\) с изменением показателя.

1. Вычислим значение функции при данных значениях показателя:
\[f(x_1) = 2^3 = 8\]
\[f(x_2) = 2^4 = 16\]

Мы видим, что \(f(x_1) = 8\) и \(f(x_2) = 16\).

2. Теперь посмотрим на значения показателя: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 4\). Заметим, что \(x_2\) больше \(x_1\).

3. Используя свойство показательной функции, которое мы описали ранее, можно сделать вывод о сохранении знака неравенства при изменении показателя.

Так как \(x_2 > x_1\), то \(2^{x_2} > 2^{x_1}\). Это можно проверить, сравнив значения функции:
\[f(x_1) = 8 < f(x_2) = 16\]

Получается, что неравенство сохраняет свои знаки: \(8 < 16\).

Таким образом, свойство показательной функции, позволяющее сделать вывод о сохранении знака неравенства при изменении показателей, верно для данного примера. Это свойство справедливо для всех положительных оснований показательных функций (\(a > 1\)).