Найдите корни уравнения: x^3-4x^2-9x+36=0

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово, чтобы ответ был понятен для школьника.

Мы имеем уравнение третьей степени \(x^3-4x^2-9x+36=0\), и наша задача состоит в том, чтобы найти его корни.

1. Шаг: Попробуем использовать метод подстановки. Подстановка значения \(x = 1\) является наиболее простой и очевидной для начала.

Подставим \(x = 1\) в уравнение:
\((1)^3 - 4(1)^2 - 9(1) + 36 = 1 - 4 - 9 + 36 = 24\)

2. Шаг: Поскольку полученное значение не равно нулю, это означает, что \(x = 1\) не является корнем уравнения.

3. Шаг: Теперь мы можем применить метод деления на множители, чтобы разложить уравнение на произведение множителей и найти его корни.

Так как у нас коэффициенты при \(x^3\) и \(x\) равны 1 и -9 соответственно, мы можем предположить, что корни уравнения будут делителями свободного члена 36. Проверим все делители 36: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm9, \pm12, \pm18, \pm36\).

Сначала попробуем \(x = -1\): \((-1)^3 - 4(-1)^2 - 9(-1) + 36 = -1 + 4 + 9 + 36 = 48\)

Затем попробуем \(x = -2\): \((-2)^3 - 4(-2)^2 - 9(-2) + 36 = -8 - 16 + 18 + 36 = 30\)

Продолжим проверять оставшиеся значения.

4. Шаг: Мы видим, что \(x = -3\) является корнем уравнения, так как \((-3)^3 - 4(-3)^2 - 9(-3) + 36 = -27 - 36 + 27 + 36 = 0\).

5. Шаг: Теперь мы можем разделить исходное уравнение на \((x + 3)\) и найти оставшиеся множители.

Деление уравнения \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0\) на \((x + 3)\) дает \(x^2 - 7x + 12\). Это является квадратным уравнением, которое мы можем решить методом факторизации.

6. Шаг: Разложим \(x^2 - 7x + 12\) на произведение множителей. Мы ищем два числа, которые в сумме дают -7 и в произведении дают 12. Эти числа -3 и -4.

Таким образом, \(x^2 - 7x + 12\) можно разложить на \((x - 3)(x - 4)\).

7. Шаг: Мы получили множители \((x + 3)(x - 3)(x - 4)\). Теперь мы можем найти оставшиеся корни, приравняв каждый множитель к нулю:

\(x + 3 = 0\) gives us \(x = -3\)

\(x - 3 = 0\) gives us \(x = 3\)

\(x - 4 = 0\) gives us \(x = 4\)

Это означает, что уравнение \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0\) имеет три корня: -3, 3 и 4.

Ответ: Корни уравнения \(x^3 - 4x^2 - 9x + 36 = 0\) равны -3, 3 и 4.