Какое расстояние сместится брусок в результате абсолютно упругого столкновения, если небольшое тело массой 1,1 кг висит

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и импульса.

Первым шагом давайте найдем начальное положение нижнего конца нити и его высоту, а также высоту поднятия бруска после столкновения.

Начальное положение нижнего конца нити равно длине нити, которая составляет 45 см. Так как угол между нитью и вертикалью составляет 60°, то высота начального положения нижнего конца нити равна \(45 \cdot \sin(60°)\).

Высота поднятия бруска после столкновения будет равна длине нити минус длина нити, после того как небольшое тело отпрыгнет от бруска. Таким образом, высота поднятия бруска составит \(45 - d\), где \(d\) - смещение нижнего конца нити после столкновения.

Теперь применим закон сохранения энергии между начальным и конечным состояниями системы (до и после столкновения).

Начальная полная механическая энергия системы равна потенциальной энергии нижнего конца нити (\(mgh\)) и кинетической энергии небольшого тела (\(\frac{1}{2} mv^2\)), где \(m\) - масса небольшого тела, \(g\) - ускорение свободного падения, а \(v\) - его скорость до столкновения.

После столкновения потенциальной энергии нижнего конца нити нет, а кинетическая энергия бруска (\(\frac{1}{2} I \omega^2\)) и небольшого тела должны быть равны начальной потенциальной и кинетической энергии системы, соответственно. Здесь \(I\) - момент инерции бруска, а \(\omega\) - его угловая скорость после столкновения.

Таким образом, мы можем записать закон сохранения энергии:

\(mgh + \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} I \omega^2\)

Теперь мы должны найти значения всех этих величин и решить уравнение относительно \(d\).

Масса небольшого тела, \(m\), равна 1,1 кг.

Ускорение свободного падения, \(g\), составляет около 9,8 м/с² (если решающий пример ведете по другой формуле (9.81), тогда укажите это дополнительно в решении).

Для нахождения угловой скорости \(\omega\) воспользуемся сохранением импульса системы. Для этого запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

\(mv = (m + M)\omega r\),

где \(M\) - масса бруска (2,2 кг), \(r\) - радиус (длина нити) = 45 см.

Выразим \(\omega\) из этого уравнения и подставим в уравнение сохранения энергии.

Используем момент инерции прямоугольного бруска относительно его оси вращения (проходящей через центр бруска и перпендикулярной его плоскости). Для прямоугольного бруска момент инерции вычисляется по формуле:

\(I = \frac{1}{12} M (a^2 + b^2)\),

где \(a\) и \(b\) - размеры сторон бруска. Пусть боковая сторона бруска равна \(a = 0,8\) м, а его ширина равна \(b = 0,4\) м.

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, решим уравнение относительно \(d\):

\(1,1 \cdot 9,8 \cdot h + \frac{1}{2} 1,1 \cdot v^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{12} \cdot 2,2 \cdot (0,8^2 + 0,4^2)\right) \cdot \left(\frac{1,1 + 2,2}{1,1} \cdot 0,45\right)^2\).

Решив это уравнение, мы найдем значение \(d\), которое является искомым смещением нижнего конца нити после столкновения.