Какое расстояние проходит тележка после выстрела, если находится на горизонтальных рельсах, а из духового ружья в песок

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать законы сохранения импульса и энергии.

1. Сначала найдем импульс пули перед выстрелом и после него:

Импульс - это произведение массы на скорость. Пусть \(m_1\) будет масса пули, а \(v_1\) - ее скорость перед выстрелом. Также пусть \(m_2\) будет массой тележки, а \(v_2\) - ее скоростью. Пусть \(m_3\) будет массой песка с пулей, а \(v_3\) - скоростью тележки после выстрела.

Импульс пули перед выстрелом: \(p_1 = m_1 \cdot v_1\).

Импульс пули после выстрела: \(p_3 = m_3 \cdot v_3\).

Импульс тележки: \(p_2 = m_2 \cdot v_2\).

Закон сохранения импульса гласит, что сумма импульсов до и после выстрела должна быть равной:

\[p_1 = p_2 + p_3\]
\[m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 + m_3 \cdot v_3\]

2. Теперь рассмотрим закон сохранения энергии:

Пусть \(E_1\) будет полной механической энергией пули перед выстрелом, \(E_2\) - энергией тележки до выстрела, \(E_3\) - энергией тележки после выстрела.

Перед выстрелом пуля находится в состоянии покоя, поэтому ее полная механическая энергия равна нулю: \(E_1 = 0\).

Энергия тележки до выстрела: \(E_2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2\).

Энергия тележки после выстрела: \(E_3 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_3^2\).

Закон сохранения энергии гласит, что энергия до выстрела должна равняться энергии после выстрела:

\[E_2 = E_3\]
\[\frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_3^2\]

3. Теперь у нас есть два уравнения, которые нам нужно решить одновременно. Выразим \(v_3\) из первого уравнения:

\[m_1 \cdot v_1 = m_2 \cdot v_2 + m_3 \cdot v_3\]
\[v_3 = \frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\]

4. Подставим полученное выражение для \(v_3\) во второе уравнение:

\[\frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot \left(\frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\right)^2\]

5. Решим полученное уравнение относительно \(v_2\):

\[\frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2} m_2 \cdot \left(\frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\right)^2\]
\[m_2 \cdot v_2^2 = \left(\frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\right)^2\]
\[m_2 \cdot v_2^2 \cdot m_3^2 = (m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2)^2\]
\[m_2^2 \cdot v_2^2 \cdot m_3^2 = m_1^2 \cdot v_1^2 - 2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 + m_2^2 \cdot v_2^2\]
\[2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 = m_1^2 \cdot v_1^2 + m_2^2 \cdot v_2^2 - m_2^2 \cdot v_2^2 \cdot m_3^2\]
\[2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot v_1 \cdot v_2 = m_1^2 \cdot v_1^2 + m_2^2 \cdot v_2^2 \cdot (1 - m_3^2)\]
\[v_2 = \frac{m_1^2 \cdot v_1^2}{2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot (1 - m_3^2)}\]

6. После того, как мы найдем \(v_2\), можем легко найти \(v_3\) с помощью выражения, которое мы получили ранее:

\[v_3 = \frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\]

7. Наконец, расстояние, пройденное тележкой после выстрела, можно найти с использованием формулы для работы силы трения:

\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot F_{\text{норм}}\]
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot m_2 \cdot g\]

где \(F_{\text{тр}}\) - сила трения, \(\mu\) - коэффициент трения, \(F_{\text{норм}}\) - нормальная сила, \(m_2\) - масса тележки, \(g\) - ускорение свободного падения.

Работа силы трения, совершенная за расстояние \(d\), равна изменению кинетической энергии тележки:

\[A_{\text{тр}} = \Delta E_{\text{к}}\]
\[A_{\text{тр}} = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_3^2 - \frac{1}{2} m_2 \cdot v_2^2\]
\[A_{\text{тр}} = \frac{1}{2} m_2 \cdot v_3^2 - \frac{1}{2} m_2 \cdot \left(\frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\right)^2\]

Таким образом, расстояние, пройденное тележкой после выстрела, будет равно:

\[d = \frac{A_{\text{тр}}}{F_{\text{тр}}} = \frac{\frac{1}{2} m_2 \cdot v_3^2 - \frac{1}{2} m_2 \cdot \left(\frac{m_1 \cdot v_1 - m_2 \cdot v_2}{m_3}\right)^2}{\mu \cdot m_2 \cdot g}\]

Теперь остается только подставить значения массы пули (\(m_1 = 10 \, \text{г}\)), скорости пули (\(v_1 = 200 \, \text{м/с}\)), массы тележки (\(m_2 = 1 \, \text{кг}\)), массы песка с пулей (\(m_3 = 10 \, \text{г}\)), коэффициента трения (\(\mu = 0,02\)) и ускорения свободного падения (\(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\)) в данное выражение, чтобы найти искомое расстояние.