Какое расстояние нужно пройти от деревни до железнодорожной станции, если пешеход и велосипедист одновременно

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип относительных скоростей. Пусть \( V_p \) - скорость пешехода, и \( V_v \) - скорость велосипедиста.

Будем считать, что расстояние от деревни до железнодорожной станции равно \( D \) (это значение необходимо знать). Пусть время, за которое пешеход достигнет станции, составляет \( t \) (это значение также необходимо знать).

Тогда, с использованием формулы \( S = V \cdot t \), можно записать расстояния, пройденные каждым из двух путешественников:

- Пешеход пройдет расстояние \( D \) со скоростью \( V_p \), то есть \( S_p = V_p \cdot t \).
- Велосипедист также пройдет расстояние \( D \) со своей скоростью \( V_v \). Он вернется в деревню точно в тот момент, когда пешеход достигнет станции, поэтому мы можем написать \( S_v = V_v \cdot (t + t) \).

Также нам необходимо знать, что велосипедист и пешеход встретились на расстоянии \( X \) от станции во время обратного пути. Это расстояние мы будем искать.

При встрече пешеход уже прошел часть пути от деревни до станции, оставив расстояние \( D - X \), которое взаимодействующих путешественников пройдут вместе. При этом велосипедист проходит это расстояние суммарно дважды - сначала когда он едет к станции, а затем, когда возвращается в деревню (в обратном направлении). Поэтому можно записать:

\( S_v = V_v \cdot (t + t + 2 \cdot \frac{{D - X}}{{V_p + V_v}}) \).

Теперь мы знаем два значения для \( S_v \) - по первой и второй формулам. Подставим их и получим уравнение:

\( V_v \cdot (t + t + 2 \cdot \frac{{D - X}}{{V_p + V_v}}) = V_p \cdot t \).

Давайте теперь разрешим это уравнение относительно \( X \).

Сначала раскроем скобки:

\( 2 \cdot V_v \cdot t + 2 \cdot V_v \cdot \frac{{D - X}}{{V_p + V_v}} = V_p \cdot t \).

Затем упростим выражение, умножив все части уравнения на \( V_p + V_v \):

\( 2 \cdot V_v \cdot t \cdot (V_p + V_v) + 2 \cdot V_v \cdot (D - X) = V_p \cdot t \cdot (V_p + V_v) \).

Раскроем скобки:

\( 2 \cdot V_v \cdot V_p \cdot t + 2 \cdot V_v^2 \cdot t + 2 \cdot V_v \cdot D - 2 \cdot V_v \cdot X = V_p \cdot V_p \cdot t + V_p \cdot V_v \cdot t \).

Далее сгруппируем слагаемые, содержащие \( X \):

\( 2 \cdot V_v \cdot X = 2 \cdot V_v \cdot D + 2 \cdot V_v^2 \cdot t + V_p \cdot V_p \cdot t + V_p \cdot V_v \cdot t - 2 \cdot V_v \cdot V_p \cdot t \).

Сократим одинаковые множители:

\( 2 \cdot X = 2 \cdot D + 2 \cdot V_v \cdot t + V_p \cdot t + V_v \cdot t - 2 \cdot V_p \cdot t \).

Далее можно перенести все слагаемые, не содержащие \( X \), вправо:

\( 2 \cdot X - 2 \cdot D = 2 \cdot V_v \cdot t + V_p \cdot t + V_v \cdot t - 2 \cdot V_p \cdot t \).

Простофицируем уравнение и разделим все слагаемые на два:

\( X - D = V_v \cdot t + \frac{{1}}{{2}} \cdot V_p \cdot t + \frac{{1}}{{2}} \cdot V_v \cdot t - V_p \cdot t \).

Теперь объединим похожие слагаемые:

\( X - D = \frac{{3}}{{2}} \cdot V_v \cdot t - \frac{{1}}{{2}} \cdot V_p \cdot t \).

Наконец, добавим \( D \) к обеим сторонам уравнения:

\( X = D + \frac{{3}}{{2}} \cdot V_v \cdot t - \frac{{1}}{{2}} \cdot V_p \cdot t \).

Мы получили решение задачи, например, с помощью этих выражений можно вычислить конкретные значения для \( X \) при заданных условиях \( D \), \( V_p \), \( V_v \) и \( t \). Это даст нам ответ на вопрос задачи.