Какое расстояние нужно пройти от деревни до железнодорожной станции, если пешеход и велосипедист одновременно

Для решения этой задачи мы можем использовать принцип относительных скоростей. Пусть $V_p$ - скорость пешехода, и $V_v$ - скорость велосипедиста.

Будем считать, что расстояние от деревни до железнодорожной станции равно $D$ (это значение необходимо знать). Пусть время, за которое пешеход достигнет станции, составляет $t$ (это значение также необходимо знать).

Тогда, с использованием формулы $S=V\cdot t$, можно записать расстояния, пройденные каждым из двух путешественников:

- Пешеход пройдет расстояние $D$ со скоростью $V_p$, то есть $S_p=V_p\cdot t$.
- Велосипедист также пройдет расстояние $D$ со своей скоростью $V_v$. Он вернется в деревню точно в тот момент, когда пешеход достигнет станции, поэтому мы можем написать $S_v=V_v\cdot (t+t)$.

Также нам необходимо знать, что велосипедист и пешеход встретились на расстоянии $X$ от станции во время обратного пути. Это расстояние мы будем искать.

При встрече пешеход уже прошел часть пути от деревни до станции, оставив расстояние $D-X$, которое взаимодействующих путешественников пройдут вместе. При этом велосипедист проходит это расстояние суммарно дважды - сначала когда он едет к станции, а затем, когда возвращается в деревню (в обратном направлении). Поэтому можно записать:

$S_v=V_v\cdot (t+t+2\cdot \frac{D-X}{V_p+V_v})$.

Теперь мы знаем два значения для $S_v$ - по первой и второй формулам. Подставим их и получим уравнение:

$V_v\cdot (t+t+2\cdot \frac{D-X}{V_p+V_v})=V_p\cdot t$.

Давайте теперь разрешим это уравнение относительно $X$.

Сначала раскроем скобки:

$2\cdot V_v\cdot t+2\cdot V_v\cdot \frac{D-X}{V_p+V_v}=V_p\cdot t$.

Затем упростим выражение, умножив все части уравнения на $V_p+V_v$:

$2\cdot V_v\cdot t\cdot (V_p+V_v)+2\cdot V_v\cdot (D-X)=V_p\cdot t\cdot (V_p+V_v)$.

Раскроем скобки:

$2\cdot V_v\cdot V_p\cdot t+2\cdot V_v^2\cdot t+2\cdot V_v\cdot D-2\cdot V_v\cdot X=V_p\cdot V_p\cdot t+V_p\cdot V_v\cdot t$.

Далее сгруппируем слагаемые, содержащие $X$:

$2\cdot V_v\cdot X=2\cdot V_v\cdot D+2\cdot V_v^2\cdot t+V_p\cdot V_p\cdot t+V_p\cdot V_v\cdot t-2\cdot V_v\cdot V_p\cdot t$.

Сократим одинаковые множители:

$2\cdot X=2\cdot D+2\cdot V_v\cdot t+V_p\cdot t+V_v\cdot t-2\cdot V_p\cdot t$.

Далее можно перенести все слагаемые, не содержащие $X$, вправо:

$2\cdot X-2\cdot D=2\cdot V_v\cdot t+V_p\cdot t+V_v\cdot t-2\cdot V_p\cdot t$.

Простофицируем уравнение и разделим все слагаемые на два:

$X-D=V_v\cdot t+\frac{1}{2}\cdot V_p\cdot t+\frac{1}{2}\cdot V_v\cdot t-V_p\cdot t$.

Теперь объединим похожие слагаемые:

$X-D=\frac{3}{2}\cdot V_v\cdot t-\frac{1}{2}\cdot V_p\cdot t$.

Наконец, добавим $D$ к обеим сторонам уравнения:

$X=D+\frac{3}{2}\cdot V_v\cdot t-\frac{1}{2}\cdot V_p\cdot t$.

Мы получили решение задачи, например, с помощью этих выражений можно вычислить конкретные значения для $X$ при заданных условиях $D$, $V_p$, $V_v$ и $t$. Это даст нам ответ на вопрос задачи.