Какое положительное значение x необходимо, чтобы последовательность чисел 11-2x, 2x+1, 3x+15 стала геометрической

Чтобы последовательность чисел 11-2x, 2x+1, 3x+15 стала геометрической прогрессией, необходимо, чтобы отношение любых двух последовательных чисел было постоянным. Давайте найдем это отношение и установим равенство.

Первый шаг - найти отношение между первым и вторым членами последовательности:
\[\frac{{2x+1}}{{11-2x}}\]

Второй шаг - найти отношение между вторым и третьим членами последовательности:
\[\frac{{3x+15}}{{2x+1}}\]

Так как последовательность является геометрической прогрессией, эти два отношения должны быть равными. Установим равенство:

\[\frac{{3x+15}}{{2x+1}} = \frac{{2x+1}}{{11-2x}}\]

Теперь решим это уравнение. Сначала умножим оба выражения на \((11-2x)(2x+1)\) для устранения знаменателей:

\[(3x+15)(11-2x) = (2x+1)(2x+1)\]

Выполняя раскрытие скобок и сокращения, получим:

\[33x - 6x^2 - 30 = 4x^2 + 4x + 1\]

Приведем подобные члены и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

\[10x^2 + 29x - 32 = 0\]

Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или метода факторизации. После вычислений получим два значения x:

\[x_1 \approx -3.2, \quad x_2 \approx 1.6\]

Так как исходное условие требует положительного значения x, мы отбрасываем отрицательное значение и определяем, что положительное значение x, при котором последовательность становится геометрической прогрессией, составляет приблизительно 1.6.