Какое отношение силы тяготения на поверхности первой планеты к силе тяготения на поверхности второй планеты, учитывая

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться законом всемирного притяжения Ньютона, который гласит, что сила тяготения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Пусть первая планета имеет массу \(M_1\) и среднюю плотность \(\rho_1\), а вторая планета имеет массу \(M_2\) и среднюю плотность \(\rho_2\). Тогда сила тяготения на поверхности первой планеты (\(F_1\)) и на поверхности второй планеты (\(F_2\)) может быть записана следующим образом:

\[ F_1 = \frac{{GM_1M_{\text{{Земля}}}}}{{R_1^2}} \]
\[ F_2 = \frac{{GM_2M_{\text{{Земля}}}}}{{R_2^2}} \]

где \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_{\text{{Земля}}}\) - масса Земли, \(R_1\) и \(R_2\) - радиусы первой и второй планет соответственно.

Также мы знаем, что масса первой планеты \(M_1\) в 64 раза больше массы второй планеты \(M_2\), а средняя плотность первой планеты \(\rho_1\) в 8 раз меньше средней плотности второй планеты \(\rho_2\). Это может быть записано следующим образом:

\[ M_1 = 64M_2 \]
\[ \rho_1 = \frac{1}{8}\rho_2 \]

Мы хотим найти отношение между \(F_1\) и \(F_2\). Для этого найдем значение \(\frac{F_1}{F_2}\):

\[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{\frac{{GM_1M_{\text{{Земля}}}}}{{R_1^2}}}{\frac{{GM_2M_{\text{{Земля}}}}}{{R_2^2}}} = \frac{M_1}{M_2} \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{64M_2}{M_2} \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2} = 64 \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2} \]

Осталось найти отношение радиусов \(\frac{R_2}{R_1}\). Мы знаем, что средняя плотность планеты связана с её массой и объемом следующим соотношением:

\[ \rho = \frac{M}{V} \]

Так как объем планеты пропорционален кубу её радиуса, можно записать:

\[ \rho_1 = \frac{M_1}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} \]
\[ \rho_2 = \frac{M_2}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} \]

Подставим значение \(\rho_1 = \frac{1}{8}\rho_2\):

\[ \frac{1}{8}\rho_2 = \frac{M_1}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} \]
\[ R_1^3 = \frac{3M_1}{32\pi\rho_2} \]

Подставим значение \(M_1 = 64M_2\):

\[ R_1^3 = \frac{3 \cdot 64M_2}{32\pi\rho_2} \]
\[ R_1^3 = \frac{192M_2}{32\pi\rho_2} \]
\[ R_1^3 = \frac{6M_2}{\pi\rho_2} \]

Аналогично, найдем выражение для \(R_2^3\):

\[ R_2^3 = \frac{6M_2}{\pi\rho_2} \]

Теперь найдем отношение радиусов \(\frac{R_2}{R_1}\):

\[ \frac{R_2}{R_1} = \sqrt[3]{\frac{R_2^3}{R_1^3}} = \sqrt[3]{\frac{\frac{6M_2}{\pi\rho_2}}{\frac{6M_2}{\pi\rho_2}}} = 1 \]

Мы получили, что \(\frac{R_2}{R_1} = 1\). Теперь подставим это значение обратно в выражение \(\frac{F_1}{F_2}\):

\[ \frac{F_1}{F_2} = 64 \cdot \frac{R_2^2}{R_1^2} = 64 \cdot \frac{1^2}{1^2} = 64 \]

Таким образом, отношение силы тяготения на поверхности первой планеты к силе тяготения на поверхности второй планеты равно 64.