На каком расстоянии от линзы площадь светового пятна на экране станет равной 57 см², когда пучок света диаметром

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тонкой линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(p\) - расстояние от предмета до линзы, \(q\) - расстояние от линзы до изображения.

Мы знаем, что фокусное расстояние \(f\) равно 18 см, а диаметр пучка света равен 4,8 см. Для нахождения расстояния \(p\) мы можем воспользоваться радиусом пучка света (\(r = \frac{d}{2}\)) и формулой связи размеров предмета и его изображения:

\[\frac{h_p}{h_i} = \frac{q}{p}\]

где \(h_p\) - размер предмета, \(h_i\) - размер изображения.

Так как у нас параллельный пучок света, то можно сказать, что размер предмета равен размеру пучка света. Также, в рамках данной задачи, мы можем считать, что размером изображения является площадь светового пятна на экране. Таким образом, \(h_p = r\) и \(h_i = S\), где \(S\) - площадь светового пятна.

Подставив все значения в формулу, получаем:

\[\frac{1}{18} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}\]

\[\frac{1}{p} = \frac{1}{18} - \frac{1}{q}\]

Теперь заменим размеры предмета и изображения:

\[\frac{r}{S} = \frac{q}{p}\]

\[\frac{q}{p} = \frac{r}{S}\]

\[\frac{1}{p} = \frac{1}{q} \cdot \frac{S}{r}\]

Теперь можем объединить оба полученных уравнения:

\[\frac{1}{18} - \frac{1}{q} = \frac{1}{q} \cdot \frac{S}{r}\]

Очистим уравнение от знаменателя:

\[\frac{1}{18} = \frac{2}{q} \cdot \frac{S}{r}\]

\[q = \frac{36 \cdot r}{S}\]

В итоге, расстояние \(q\) от линзы до изображения равно \(\frac{36 \cdot r}{S}\), где радиус \(r = \frac{4,8}{2} = 2,4\) см, а площадь светового пятна \(S = 57\) см².

Подставляя значения в выражение, получаем:

\[q = \frac{36 \cdot 2,4}{57} \approx 1,51\]

Таким образом, расстояние от линзы до изображения, при котором площадь светового пятна станет равной 57 см², округлённо до целого числа, составляет 2 см.