Какое натуральное число является значением выражения 1/1+√3 + 1/√3+√5 + ··· + 1/√2023+√2025? Найдите его. Только ответ

Чтобы найти значение данного выражения, необходимо сложить все числа в ряду и упростить полученную сумму. В данной задаче у нас есть ряд из нескольких дробей, где каждая дробь представляет собой сумму обратных квадратных корней. Нам нужно найти сумму всех этих дробей и определить ее значение.

Итак, начнем с упрощения первой дроби:
\[\frac{1}{1+\sqrt{3}}\]

Чтобы упростить эту дробь, домножим числитель и знаменатель на \((1-\sqrt{3})\), чтобы устранить знаменатель:
\[\frac{1}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{(1-\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})} = \frac{(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{(1-\sqrt{3})}{-2}\]

Аналогично, упростим вторую дробь:
\[\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\]

Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{5}-\sqrt{3})\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} \cdot \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}\]

Продолжим этот процесс для всех оставшихся дробей в ряду, пока не дойдем до последней дроби:
\[\frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2025}}\]

Умножим числитель и знаменатель на \((\sqrt{2025}-\sqrt{2023})\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[\frac{1}{\sqrt{2023}+\sqrt{2025}} \cdot \frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})} = \frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}{(\sqrt{2023}+\sqrt{2025})(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})} = \frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}{2}\]

Теперь сложим все полученные дроби вместе:
\[\frac{(1-\sqrt{3})}{-2} + \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2} + \ldots + \frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}{2}\]

Мы можем объединить числители и знаменатели всех дробей:
\[\frac{(1-\sqrt{3}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + \ldots + (\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}{2}\]

Обратите внимание, что каждый корень в числителе сокращается с соответствующим корнем в предыдущем числителе. Все остаются только первый и последний члены:
\[(1 + \sqrt{2025}) - (1 + \sqrt{3}) = \sqrt{2025} - \sqrt{3}\]

Наконец, мы нашли значение выражения:
\[\sqrt{2025} - \sqrt{3}\]

Следовательно, натуральное число, являющееся значением данного выражения, равно \(\sqrt{2025} - \sqrt{3}\).