Какое натуральное число мог задумать Петя, если он выписал на доску все его делители, кроме 1 и самого числа

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим условие более подробно.

Петя задумал натуральное число \(n\) и выписал на доску все делители этого числа, кроме 1 и самого числа \(n\). Затем он заметил, что для любых двух различных чисел, которые он написал на доске, число \(n\) делится на их разность.

Давайте представим, что на доске Петя выписал два различных числа: \(a\) и \(b\), где \(1 < a < b < n\). Согласно условию задачи, число \(n\) должно делиться на разность этих двух чисел: \(n\) делится на \(b - a\).

Теперь рассмотрим разность чисел \(b - a\). Поскольку \(a\) и \(b\) являются делителями числа \(n\) и разность будет являться натуральным числом, то \(b - a\) также будет являться делителем числа \(n\).

Таким образом, получаем, что для любых двух различных чисел, которые Петя выписал на доску, эти числа являются делителями числа \(n\), а разность этих чисел также является делителем числа \(n\).

Итак, чтобы найти все возможные числа, которые мог задумать Петя, мы должны найти такие натуральные числа \(n\), для которых все числа из набора делителей (кроме 1 и \(n\)), а также все разности между этими числами являются делителями числа \(n\).

Давайте рассмотрим пример. Пусть \(n = 6\). Все делители числа 6, кроме 1 и 6: 2 и 3. Теперь рассмотрим все разности между этими числами: 3 - 2 = 1. Обратите внимание, что для числа 6 выполняется условие задачи, так как 1 является делителем числа 6.

Теперь найдем все возможные числа \(n\), для которых все делители и разности между этими делителями являются делителями числа \(n\).

\begin{align*}
n = 6 & : \{2, 3\} \\
n = 28 & : \{2, 4, 7, 14\} \\
n = 496 & : \{2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248\}
\end{align*}

Далее продолжим исследование нахождения всех таких чисел.