Какое направление имеют ветви параболы у = -0,5х^2 + х + 2? Каковы координаты вершины параболы? Сколько общих точек

Конечно! Давайте разберемся с задачей.

Направление ветвей параболы можно определить из коэффициента \(a\) в уравнении параболы \(y = ax^2 + bx + c\).
В данном случае мы имеем уравнение \(-0,5x^2 + x + 2\), где коэффициент \(a = -0,5\).

Если коэффициент \(a\) отрицателен, то ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент \(a\) положителен, ветви параболы направлены вверх.

Теперь найдем вершину параболы. Формула для координат вершины параболы выглядит следующим образом:

\[x = -\frac{b}{2a}\]

\[y = f(x)\]

В уравнении \(y = -0,5x^2 + x + 2\) у нас коэффициент \(a = -0,5\) и коэффициент \(b = 1\).

Учитывая это, мы можем использовать формулу для вершины:

\[x = -\frac{1}{2(-0,5)}\]

\[x = -\frac{1}{-1} = 1\]

Далее, чтобы найти значение \(y\) или ординату вершины, мы подставляем \(x\) в уравнение:

\[y = -0,5(1)^2 + (1) + 2\]

\[y = -0,5 + 1 + 2\]

\[y = 2,5\]

Итак, координаты вершины параболы равны \(V(1, 2,5)\).

Теперь давайте определим количество точек пересечения параболы с осью \(x\) или \(y\).

Для этого нужно решить уравнение \(y = 0\), поскольку точки пересечения лежат на оси.

\(-0,5x^2 + x + 2 = 0\)

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию, полное квадратное уравнение или квадратное уравнение по формуле.

Для данной задачи я воспользуюсь квадратным уравнением по формуле:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Применим это к нашему уравнению:

\[x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-0,5)(2)}}{2(-0,5)}\]

Теперь посчитаем дискриминант под корнем:

\[D = b^2 - 4ac\]

\[D = 1^2 - 4(-0,5)(2)\]

\[D = 1 + 4\]

\[D = 5\]

Так как дискриминант \(D > 0\), у нас будет две точки пересечения параболы с осью \(x\).

Используя формулу квадратного уравнения, мы можем найти координаты этих точек:

\[x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{-1}\]
\[x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{-1}\]

Расчитаем значение каждого \(x\):

\[x_1 = -1 + \sqrt{5}\]
\[x_2 = -1 - \sqrt{5}\]

Итак, парабола \(y = -0,5x^2 + x + 2\) имеет две точки пересечения с осью \(x\), координаты которых равны \(P_1(-1 + \sqrt{5}, 0)\) и \(P_2(-1 - \sqrt{5}, 0)\).