Какое наименьшее значение принимает функция y=8x-ln(x+12)^8 на отрезке [-11,5;0]? Подробно опишите

Чтобы найти наименьшее значение функции \(y = 8x - \ln((x+12)^8)\) на интервале \([-11,5; 0]\), мы должны следовать нескольким шагам.

1. Вычисление производной функции:
Мы начинаем с вычисления производной функции, чтобы найти ее экстремумы. Производная функции \(y\) определяется как сумма производных каждого из слагаемых. Производная 8x равна 8, а производная \(\ln((x+12)^8)\) рассчитывается с использованием цепного правила и равна \(\frac{8}{x+12}\).

Формула производной функции:
\[y" = 8 - \frac{8}{x+12}\]

2. Нахождение критических точек:
Критические точки являются точками, где производная функции равна нулю или не определена. Чтобы найти критические точки, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[8 - \frac{8}{x+12} = 0\]

Решаем это уравнение:
\[8(x+12) - 8 = 0\]
\[8x + 96 - 8 = 0\]
\[8x + 88 = 0\]
\[8x = -88\]
\[x = -11\]

Таким образом, мы нашли критическую точку при \(x = -11\).

3. Оценивание значений функции на концах интервала:
Чтобы убедиться, что не существует других экстремумов за пределами интервала, мы оцениваем значения функции на концах интервала \([-11,5; 0]\). Вычислим значения функции на \(x = -11\) и \(x = 0\):
\[y(-11) = 8(-11) - \ln((-11+12)^8)\]
\[y(-11) = -88 - \ln(1)^8\]
\[y(-11) = -88\]

\[y(0) = 8(0) - \ln((0+12)^8)\]
\[y(0) = 0 - \ln(12^8)\]
\[y(0) = 0 - \ln(429981696)^8\]
\[y(0) \approx -292.99\]

Таким образом, мы имеем минимальное значение функции \(y\) равное -88, которое достигается в точке \(x = -11\) на интервале \([-11,5; 0]\).

Данный подход позволяет точно определить минимальное значение функции \(y = 8x - \ln((x+12)^8)\) на заданном интервале и объясняет каждый шаг нашего решения.