Какое наименьшее значение принимает функция y=2x^3-24x+17 на интервале [0;8]?

Для решения данной задачи, нам необходимо найти наименьшее значение функции \( y = 2x^3 - 24x + 17 \) на интервале [0;8].

Шаг 1: Найдем значения функции на границах интервала [0;8].
- Подставим значение \( x = 0 \) в функцию:
\( y = 2(0)^3 - 24(0) + 17 = 0 - 0 + 17 = 17 \)
- Подставим значение \( x = 8 \) в функцию:
\( y = 2(8)^3 - 24(8) + 17 = 1024 - 192 - 17 = 815 \)

Шаг 2: Найдем значение функции в критических точках (точках, где производная равна нулю или неопределена).
- Найдем производную функции \( y = 2x^3 - 24x + 17 \):
\( y" = 6x^2 - 24 \)
- Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
\( 6x^2 - 24 = 0 \)
\( x^2 - 4 = 0 \)
\( (x - 2)(x + 2) = 0 \)
\( x = 2 \) или \( x = -2 \)
- Подставим полученные значения \( x \) в функцию:
При \( x = 2 \): \( y = 2(2)^3 - 24(2) + 17 = 8 - 48 + 17 = -23 \)
При \( x = -2 \): \( y = 2(-2)^3 - 24(-2) + 17 = -16 + 48 + 17 = 49 \)

Шаг 3: Сравним значения функции на границах интервала, в критических точках и выберем наименьшее значение.
- Значение функции на границах интервала [0;8]: \( y = 17 \) и \( y = 815 \)
- Значение функции в критических точках \( x = 2 \) и \( x = -2 \): \( y = -23 \) и \( y = 49 \)

Итак, наименьшее значение функции \( y = 2x^3 - 24x + 17 \) на интервале [0;8] равно -23, которое достигается при \( x = 2 \).