Каков закон распределения и функция распределения случайной величины СВx, представляющей число изделий первого сорта

Закон распределения случайной величины \(X\) можно найти, исходя из количества "хороших" изделий, то есть изделий первого сорта, в выборке из четырех наугад взятых изделий.

Для нахождения закона распределения нужно рассмотреть все возможные комбинации "хороших" изделий в выборке. В данном случае возможные комбинации будут следующие:

- 4 "хороших" изделия
- 3 "хороших" изделия и 1 "плохое" изделие
- 2 "хороших" изделия и 2 "плохих" изделия
- 1 "хорошее" изделие и 3 "плохих" изделия
- 4 "плохих" изделия

Для каждой комбинации определим вероятность. Пусть вероятность нахождения "хорошего" изделия в выборке равна \(p\), а вероятность нахождения "плохого" изделия равна \(q\). Очевидно, что \(p+q=1\).

Найдем вероятность для каждой комбинации:

1) 4 "хороших" изделия:
Вероятность выбрать "хорошее" изделие из четырех наугад равна \(p \cdot p \cdot p \cdot p = p^4\)

2) 3 "хороших" изделия и 1 "плохое" изделие:
"Хорошие" изделия могут быть выбраны сначала, а "плохое" изделие выбрано последним. Вероятность равна \(p \cdot p \cdot p \cdot q\)

3) 2 "хороших" изделия и 2 "плохих" изделия:
"Хорошие" изделия могут быть выбраны первыми или последними. Вероятность равна \(p \cdot p \cdot q \cdot q\) (для случая, когда два "хороших" изделия выбраны первыми) и \(q \cdot q \cdot p \cdot p\) (для случая, когда два "хороших" изделия выбраны последними). Суммируем эти вероятности.

4) 1 "хорошее" изделие и 3 "плохих" изделия:
Аналогично предыдущему пункту, вероятность равна \(p \cdot q \cdot q \cdot q\) (для случая, когда "хорошее" изделие выбрано первым) и \(q \cdot q \cdot q \cdot p\) (для случая, когда "хорошее" изделие выбрано последним). Суммируем эти вероятности.

5) 4 "плохих" изделия:
Вероятность выбрать "плохое" изделие каждый раз равна \(q\). Таким образом, вероятность равна \(q \cdot q \cdot q \cdot q = q^4\)

Теперь можем записать закон распределения случайной величины \(X\) в виде таблицы:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Количество "хороших" изделий (X)} & \text{Вероятность (P(X))} \\
\hline
4 & p^4 \\
3 & 4p^3q \\
2 & 6p^2q^2 \\
1 & 4pq^3 \\
0 & q^4 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь перейдем к функции распределения. Функция распределения \(F(x)\) представляет собой сумму вероятностей всех значений случайной величины, меньших или равных \(x\). Найдем ее для каждого значения \(x\):

Для \(x = 4\), \(F(4) = P(X \leq 4) = p^4\)

Для \(x = 3\), \(F(3) = P(X \leq 3) = p^4 + 4p^3q\)

Для \(x = 2\), \(F(2) = P(X \leq 2) = p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2\)

Для \(x = 1\), \(F(1) = P(X \leq 1) = p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3\)

Для \(x = 0\), \(F(0) = P(X \leq 0) = p^4 + 4p^3q + 6p^2q^2 + 4pq^3 + q^4 = 1\)

Теперь у нас есть функция распределения. Обратите внимание, что \(F(x)\) также может быть использована для нахождения вероятности попадания в интервал \(P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)\).

Перейдем к ожиданию случайной величины \(X\). Ожидание, или математическое ожидание, обозначается как \(E(X)\) и представляет собой среднее значение случайной величины. Для нахождения ожидания нужно умножить каждое значение случайной величины на его вероятность и просуммировать полученные произведения:

\(E(X) = 4 \cdot p^4 + 3 \cdot 4p^3q + 2 \cdot 6p^2q^2 + 1 \cdot 4pq^3 + 0 \cdot q^4\)

Для нахождения дисперсии случайной величины \(X\) нужно вычислить среднее значение квадрата отклонения от ожидания. Дисперсия обозначается как \(\text{Var}(X)\).

\(\text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2\)

Для нахождения \(\text{Var}(X)\) нужно также учитывать значение случайной величины в квадрате. Таким образом, формула для дисперсии выглядит следующим образом:

\(\text{Var}(X) = (4^2 \cdot p^4) + (3^2 \cdot 4p^3q) + (2^2 \cdot 6p^2q^2) + (1^2 \cdot 4pq^3) + (0^2 \cdot q^4) - (E(X))^2\)

Наконец, среднее квадратичное отклонение случайной величины \(X\) или стандартное отклонение \(\sigma\) можно вычислить как квадратный корень из дисперсии:

\(\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}\)

Что касается построения графика распределения, это можно сделать с использованием столбцовых или линейных графиков, где по оси X отображаются значения случайной величины, а по оси Y - вероятности соответствующих значений. Чем выше столбец (или линия), тем больше вероятность.

Надеюсь, этот ответ был достаточно подробным и понятным для школьника. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.