Какое наименьшее натуральное число имеет 24 уникальных делителя, включая 1 и само число?

Чтобы определить наименьшее натуральное число с 24 уникальными делителями, включая 1 и само число, мы можем воспользоваться следующим подходом.

1. Для начала рассмотрим представление числа 24 в виде произведения простых множителей: $$24=2^3\cdot 3^1$$

2. Далее, определим общую формулу для количества делителей числа. Пусть у нас есть число, представленное в виде произведения простых множителей как $$p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$$ где $p_1,p_2,\dots ,p_k$ - простые числа, а $a_1,a_2,\dots ,a_k$ - положительные целые числа.

3. Формула для количества делителей этого числа будет следующей: $$(a_1+1)\cdot (a_2+1)\cdot \dots \cdot (a_k+1)$$ Эта формула выводится из того факта, что для каждого простого множителя $p_i$ у нас есть $a_i+1$ вариантов степеней, которые мы можем выбрать (от 0 до $a_i$).

4. Вернемся к нашему числу 24. Используя формулу из пункта 3, мы можем вычислить количество делителей числа 24: $(3+1)\cdot (1+1)=4\cdot 2=8$

5. Очевидно, что мы должны увеличить количество простых множителей и/или их степени, чтобы получить большее количество делителей. Попробуем увеличить степень простого множителя 2.

6. Установим степень для простого множителя 2 равную 4: $$2^4\cdot 3^1$$

7. Теперь с помощью формулы из пункта 3 вычислим новое количество делителей: $(4+1)\cdot (1+1)=5\cdot 2=10$

8. Мы видим, что количество делителей увеличилось до 10. Однако, нам требуется 24 делителя.

9. Увеличим степень простого множителя 2 до 6: $$2^6\cdot 3^1$$

10. Вычислим новое количество делителей: $(6+1)\cdot (1+1)=7\cdot 2=14$

11. Мы получили 14 делителей, что все еще недостаточно.

12. Увеличим степень простого множителя 2 до 8: $$2^8\cdot 3^1$$

13. Вычислим новое количество делителей: $(8+1)\cdot (1+1)=9\cdot 2=18$

14. Мы получили 18 делителей, и это уже ближе к 24, но все равно не достаточно.

15. Увеличим степень простого множителя 2 до 10: $$2^{10}\cdot 3^1$$

16. Вычислим новое количество делителей: $(10+1)\cdot (1+1)=11\cdot 2=22$

17. Здесь мы получили уже 22 делителя, но все равно не достаточно.

18. Увеличим степень простого множителя 2 до 12: $$2^{12}\cdot 3^1$$

19. Вычислим новое количество делителей: $(12+1)\cdot (1+1)=13\cdot 2=26$

20. Мы получили 26 делителей, что уже больше, чем 24. Теперь нам нужно найти минимальное число с 24 делителями. Для этого мы должны снизить степень простого множителя 2 на 1 и проверить количество делителей.

21. Установим степень для простого множителя 2 равную 11: $$2^{11}\cdot 3^1$$

22. Вычислим новое количество делителей: $(11+1)\cdot (1+1)=12\cdot 2=24$

23. Таким образом, наименьшее натуральное число с 24 уникальными делителями включая 1 и само число равно $$2^{11}\cdot 3^1=2048\cdot 3=6144$$

Ответ: Наименьшее натуральное число с 24 уникальными делителями, включая 1 и само число, равно 6144.