Какое наименьшее натуральное число имеет 24 уникальных делителя, включая 1 и само число?

Чтобы определить наименьшее натуральное число с 24 уникальными делителями, включая 1 и само число, мы можем воспользоваться следующим подходом.

1. Для начала рассмотрим представление числа 24 в виде произведения простых множителей: \[24 = 2^3 \cdot 3^1\]

2. Далее, определим общую формулу для количества делителей числа. Пусть у нас есть число, представленное в виде произведения простых множителей как \[p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}\] где \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) - простые числа, а \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) - положительные целые числа.

3. Формула для количества делителей этого числа будет следующей: \[(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1)\] Эта формула выводится из того факта, что для каждого простого множителя \(p_i\) у нас есть \(a_i + 1\) вариантов степеней, которые мы можем выбрать (от 0 до \(a_i\)).

4. Вернемся к нашему числу 24. Используя формулу из пункта 3, мы можем вычислить количество делителей числа 24: \((3 + 1) \cdot (1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8\)

5. Очевидно, что мы должны увеличить количество простых множителей и/или их степени, чтобы получить большее количество делителей. Попробуем увеличить степень простого множителя 2.

6. Установим степень для простого множителя 2 равную 4: \[2^4 \cdot 3^1\]

7. Теперь с помощью формулы из пункта 3 вычислим новое количество делителей: \((4 + 1) \cdot (1 + 1) = 5 \cdot 2 = 10\)

8. Мы видим, что количество делителей увеличилось до 10. Однако, нам требуется 24 делителя.

9. Увеличим степень простого множителя 2 до 6: \[2^6 \cdot 3^1\]

10. Вычислим новое количество делителей: \((6 + 1) \cdot (1 + 1) = 7 \cdot 2 = 14\)

11. Мы получили 14 делителей, что все еще недостаточно.

12. Увеличим степень простого множителя 2 до 8: \[2^8 \cdot 3^1\]

13. Вычислим новое количество делителей: \((8 + 1) \cdot (1 + 1) = 9 \cdot 2 = 18\)

14. Мы получили 18 делителей, и это уже ближе к 24, но все равно не достаточно.

15. Увеличим степень простого множителя 2 до 10: \[2^{10} \cdot 3^1\]

16. Вычислим новое количество делителей: \((10 + 1) \cdot (1 + 1) = 11 \cdot 2 = 22\)

17. Здесь мы получили уже 22 делителя, но все равно не достаточно.

18. Увеличим степень простого множителя 2 до 12: \[2^{12} \cdot 3^1\]

19. Вычислим новое количество делителей: \((12 + 1) \cdot (1 + 1) = 13 \cdot 2 = 26\)

20. Мы получили 26 делителей, что уже больше, чем 24. Теперь нам нужно найти минимальное число с 24 делителями. Для этого мы должны снизить степень простого множителя 2 на 1 и проверить количество делителей.

21. Установим степень для простого множителя 2 равную 11: \[2^{11} \cdot 3^1\]

22. Вычислим новое количество делителей: \((11 + 1) \cdot (1 + 1) = 12 \cdot 2 = 24\)

23. Таким образом, наименьшее натуральное число с 24 уникальными делителями включая 1 и само число равно \[2^{11} \cdot 3^1 = 2048 \cdot 3 = 6144\]

Ответ: Наименьшее натуральное число с 24 уникальными делителями, включая 1 и само число, равно 6144.