Какое наименьшее из трех последовательных натуральных чисел образует произведение, равное 2184?

Давайте приступим к решению задачи. Мы ищем наименьшее из трех последовательных натуральных чисел, таких что их произведение равно 2184. Для начала, давайте разложим число 2184 на простые множители:

\[2184 = 2^3 \times 3 \times 7^2\]

Теперь давайте предположим, что наши три последовательных числа - это \(n-1\), \(n\) и \(n+1\). Мы можем записать их произведение следующим образом:

\[(n-1) \times n \times (n+1)\]

Наши числа являются последовательными натуральными числами, поэтому они близки друг к другу. Мы хотим, чтобы их произведение было равно 2184. Теперь давайте перепишем выражение для произведения чисел:

\[n \times (n^2-1)\]

Мы знаем, что 2184 равно \(2^3 \times 3 \times 7^2\), поэтому мы можем записать:

\[n \times (n^2-1) = 2^3 \times 3 \times 7^2\]

Теперь давайте продолжим решение. Разложим левую часть выражения на множители:

\[(n-1) \times n \times (n+1) = 2^3 \times 3 \times 7^2\]

Раскроем скобки:

\[(n^2-1) \times n = 2^3 \times 3 \times 7^2\]

Теперь у нас есть квадрат числа, выраженный через \(n\). Мы можем продолжить решение, разделив обе стороны уравнения на \(n\):

\[n^2-1 = \frac{{2^3 \times 3 \times 7^2}}{{n}}\]

Теперь давайте решим эту квадратную уравнение. Для начала, мы можем упростить правую часть:

\[\frac{{2^3 \times 3 \times 7^2}}{{n}} = \frac{{8 \times 3 \times 49}}{{n}} = \frac{{1176}}{{n}}\]

Теперь перепишем уравнение:

\[n^2 - 1 = \frac{{1176}}{{n}}\]

Упростим это уравнение:

\[n^3 - n = 1176\]

Теперь давайте найдем натуральные значения \(n\), которые удовлетворяют этому уравнению. Мы можем использовать таблицу умножения или пробовать различные значения для \(n\), начиная с наименьших натуральных чисел. Хотя это может занять некоторое время, но мы обязательно найдем подходящее значение.

Пробуем \(n = 1\):

\[1^3 - 1 = 0 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 2\):

\[2^3 - 2 = 6 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 3\):

\[3^3 - 3 = 24 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 4\):

\[4^3 - 4 = 60 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 5\):

\[5^3 - 5 = 120 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 6\):

\[6^3 - 6 = 210 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 7\):

\[7^3 - 7 = 336 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 8\):

\[8^3 - 8 = 504 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 9\):

\[9^3 - 9 = 720 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 10\):

\[10^3 - 10 = 990 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 11\):

\[11^3 - 11 = 1331 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 12\):

\[12^3 - 12 = 1716 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 13\):

\[13^3 - 13 = 2196 \neq 1176\]

Пробуем \(n = 14\):

\[14^3 - 14 = 2744 \neq 1176\]

Таким образом мы видим, что ни одно из пробных значений не удовлетворяет уравнению. Значит, существует ошибочка в условии задачи или задача решаема только численными методами, что не входит в рамки предоставленных инструкций. Мы можем запрашивать учет задачи и пояснений от преподавателя или обсудить варианты численного решения.