Какова площадь поверхности, образованная вращением ромба ABCD с равными сторонами равными 1 и острым углом 60 градусов

Чтобы найти площадь поверхности, образованной вращением ромба ABCD вокруг прямой, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади поверхности вращения. По определению, поверхность, полученная в результате вращения фигуры вокруг прямой, представляет собой совокупность всех окружностей, образованных при повороте каждой точки фигуры вокруг этой прямой.

Итак, для нашей задачи, мы вращаем ромб ABCD вокруг прямой, которая проходит через центр ромба и перпендикулярна его базовым сторонам. Для удобства обозначим центр ромба как точку O. Теперь нарисуем ромб ABCD с заданными параметрами:

B
/ \
/ \
/ \
A-------C
\ /
\ /
\ /
D

Так как у нас имеется равносторонний ромб, то его основные свойства следующие:

1. Стороны ромба ABCD имеют равную длину, которая равна 1.
2. Угол BAD (и любой другой угол) равен 60 градусам.

Теперь давайте рассмотрим процесс вращения ромба ABCD вокруг прямой, проходящей через точку O. При вращении каждая точка ромба описывает окружность. Так как все стороны равностороннего ромба одинаковы, все окружности, образованные каждой стороной, также будут одинаковыми.

Для нахождения площади поверхности вращения, нам нужно найти площадь каждой окружности и затем сложить их все вместе.

Для нахождения радиуса окружности, описанной вокруг ромба ABCD, мы можем использовать теорему синусов. Так как угол BAD равен 60 градусам, то мы можем найти радиус окружности R с помощью следующей формулы:

\(R = \frac{a}{2\sin(\frac{\angle BAD}{2})}\),

где \(a\) - длина одной стороны ромба, \(\angle BAD\) - угол между двумя сторонами ромба.

Подставляя известные значения, получим:

\(R = \frac{1}{2\sin(\frac{60}{2})} = \frac{1}{2\sin(30)}\).

Теперь выразим \(\sin(30)\) через известные значения. Так как у нас прямоугольный треугольник, в котором противолежащий катет равен \(a/2 = \frac{1}{2}\), а гипотенуза (радиус) равна \(R\), мы можем использовать теорему Пифагора:

\((\frac{1}{2})^2 + R^2 = 1^2\).

Решая это уравнение относительно \(R\), получим:

\(R^2 = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}\).

Затем возьмем положительный квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти \(R\):

\(R = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь, когда у нас есть значение радиуса, мы можем найти площадь каждой окружности, образованной при вращении ромба. Формула для площади окружности:

\(S = \pi R^2\),

где \(S\) - площадь окружности, \(\pi\) - число Пи (приближенно равно 3.14), \(R\) - радиус окружности.

Подставим значение радиуса, получим:

\(S = \pi(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\pi\).

Таким образом, площадь поверхности, образованной вращением ромба ABCD с равными сторонами равными 1 и острым углом 60 градусов, вокруг прямой, равна \(\frac{3}{4}\pi\).