Какое наименьшее число записано на доске, если среди них есть разные числа и каждое из них имеет 1009 других чисел

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, какие числа и какие операции происходят на доске.

Из текста задачи видно, что на доске записано несколько чисел, причем среди них каждое число имеет 1009 других чисел со средним арифметическим, равным этому числу. Иными словами, каждое число на доске является средним арифметическимом 1009 других чисел.

Предположим, что наименьшее число на доске обозначено как \( x \).

В данном случае мы знаем, что среднее арифметическое 1009 чисел равно числу \( x \). Среднее арифметическое чисел может быть найдено путем сложения всех чисел и деления полученной суммы на их количество.

То есть, сумма всех 1009 чисел будет равна \( 1009x \).

Поскольку каждое из этих чисел является средним арифметическимом, при делении суммы на их количество, мы получим \( x \) снова.

То есть, \(\frac{{1009x}}{{1009}} = x\).

Теперь мы можем решить эту уравнение относительно \( x \):

\[
\frac{{1009x}}{{1009}} = x
\]

Умножим обе стороны уравнения на 1009:

\[
1009x = 1009 \cdot x
\]

Раскроем скобки:

\[
1009x = 1009x
\]

Как видно из уравнения, \( x \) может быть любым числом, поскольку у нас имеется тождественное равенство. Это означает, что наименьшее число на доске может быть любым числом.

Таким образом, ответ на задачу - наименьшее число на доске не может быть определено, так как оно может быть любым числом.