Какая максимальная длина высоты треугольника со сторонами 17 дм, 21 дм и 10 дм? Какие формулы площади треугольника

Чтобы найти максимальную длину высоты треугольника, мы можем использовать формулу для вычисления площади треугольника. Существует несколько формул, используемых для нахождения площади треугольника, но для данной задачи мы будем использовать формулу Герона.

Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\],

где \(S\) - площадь треугольника,

\(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника,

\(p\) - полупериметр, который вычисляется как \(\frac{{a+b+c}}{2}\).

В нашем случае:

длина стороны \(a\) равна 17 дм,

длина стороны \(b\) равна 21 дм,

длина стороны \(c\) равна 10 дм.

Вычислим полупериметр \(p\):

\[p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{17 + 21 + 10}}{2} = \frac{48}{2} = 24 \text{ дм}.\]

Теперь мы можем подставить значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(p\) в формулу Герона:

\[S = \sqrt{24(24 - 17)(24 - 21)(24 - 10)}.\]

Выполним вычисления:

\[S = \sqrt{24 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 14}.\]

Упростим это выражение:

\[S = \sqrt{3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7} = \sqrt{(2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 2 \cdot 3)}.\]

Далее:

\[S = \sqrt{2^3 \cdot 3^3 \cdot 7^2} = \sqrt{(2^2 \cdot 3^2)(2 \cdot 7)^2}.\]

И наконец:

\[S = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42.\]

Таким образом, площадь треугольника равна 42 квадратным декаметрам.

Чтобы найти максимальную длину высоты, мы можем использовать формулу для вычисления высоты треугольника по площади и основанию. Формула выглядит следующим образом:

\[h = \frac{{2S}}{a},\]

где \(h\) - высота треугольника,

\(S\) - площадь треугольника,

\(a\) - длина основания треугольника.

В нашем случае:

площадь треугольника \(S\) равна 42 дм²,

длина основания \(a\) равна 21 дм.

Подставим значения в формулу:

\[h = \frac{{2 \cdot 42}}{21} = \frac{84}{21} = 4 \text{ дм}.\]

Таким образом, максимальная длина высоты треугольника равна 4 дм.