Какое наименьшее число нужно умножить на 20 в степени 22, чтобы получить куб натурального числа?

Чтобы найти наименьшее число, которое нужно умножить на \(20^{22}\), чтобы получить куб натурального числа, мы можем разложить \(20^{22}\) на простые множители и анализировать степени этих простых чисел.

Сначала разложим \(20\) на простые множители. \(20\) можно представить в виде \(2 \cdot 2 \cdot 5\). Теперь возведем \(20\) в степень \(22\):

\[20^{22} = (2 \cdot 2 \cdot 5)^{22} = 2^{22} \cdot 2^{22} \cdot 5^{22}\]

Чтобы получить куб натурального числа, каждый простой множитель должен быть возведен в степень, которая делится на \(3\). Давайте посмотрим на степени простых множителей:

\(\bullet\) \(2\) возводим в степень \(22\): \(2^{22} = 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2\) (\(22\) раза). Степень \(22\) является нечетным числом, поэтому она не делится на \(3\).

\(\bullet\) \(5\) возводим в степень \(22\): \(5^{22} = 5 \cdot 5 \cdot ... \cdot 5\) (\(22\) раза). Также степень \(22\) является нечетным числом, поэтому она не делится на \(3\).

Итак, чтобы получить куб натурального числа, мы должны умножить \(20^{22}\) на наименьшую степень числа \(2 \cdot 5 = 10\), которая делится на \(3\). Наименьшая степень числа \(10\), которая делится на \(3\), это \(10^3 = 1000\).

Таким образом, наименьшее число, которое нужно умножить на \(20^{22}\), чтобы получить куб натурального числа, равно \(1000\).