Как найти решение уравнения 4(1+cosx)=3cos(x/2) sin^2(x/2)?

Давайте рассмотрим подробное решение задачи по шагам.

Шаг 1: Раскройте скобки в уравнении
У нас есть уравнение 4(1+cosx) = 3cos(x/2) sin^2(x/2). Давайте начнем с раскрытия скобок:

4 + 4cosx = 3cos(x/2) sin^2(x/2)

Шаг 2: Преобразуйте выражение
Для удобства применения дальнейших шагов, давайте преобразуем выражение с помощью тригонометрических тождеств. Вспомним формулу sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

4 + 4cosx = 3cos(x/2) (1 - cos^2(x/2))

Шаг 3: Упростите и приведите подобные слагаемые
Распишем выражение после применения тригонометрической формулы:

4 + 4cosx = 3cos(x/2) - 3cos^3(x/2)

Давайте приведем слагаемые справа в одну группу:

3cos(x/2) - 4cosx + 4 + 3cos^3(x/2) = 0

Шаг 4: Приведите подобные слагаемые в одну группу
Так как у нас есть два слагаемых с cos(x/2), давайте приведем их в одну группу:

3cos(x/2) + 3cos^3(x/2) - 4cosx + 4 = 0

Шаг 5: Факторизуйте выражение
На данном этапе удобно произвести факторизацию выражения. Давайте вынесем общий множитель из первых двух слагаемых и из последних двух слагаемых:

3cos(x/2)(1 + cos^2(x/2)) - 4(cosx - 1) = 0

Шаг 6: Приведение слагаемых в скобках
Упростим выражение в обоих скобках:

3cos(x/2)(sin^2(x/2) + cos^2(x/2)) - 4(cosx - 1) = 0

Так как sin^2(x/2) + cos^2(x/2) = 1, получаем:

3cos(x/2) - 4(cosx - 1) = 0

Шаг 7: Упростите выражение
Применим распределительное свойство умножения:

3cos(x/2) - 4cosx + 4 = 0

Шаг 8: Придем к квадратному уравнению
Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых:

3cos(x/2) - 4cosx + 4 = 0

Шаг 9: Решите получившееся уравнение
Это квадратное уравнение по переменной cos(x/2). Мы можем решить его путем факторизации, использования формулы дискриминанта или метода завершения квадрата.

Ответ: Полученное уравнение является квадратным уравнением по переменной cos(x/2). Дальнейший анализ и решение этого уравнения можно выполнить, применяя подходящий метод решения квадратных уравнений.