Какое наибольшее количество орешков (обозначим это число как N) должна иметь Белла, чтобы уверенно найти пустой орех

Для решения данной задачи поступим следующим образом.

Предположим, что Белла имеет N орешков.
В наихудшем случае, каждое взвешивание между двумя группами орешков приводит к тому, что они весят одинаково. В этом случае, на весы не следует полагать 2 группы орешков, так как это приведет к расходу дополнительного взвешивания для каждой из групп.

Таким образом, первое взвешивание будет иметь вид:
1) Положим \(N\) орешков на левую чашу весов и \(N\) орешков на правую чашу весов.

Затем, для каждого следующего взвешивания будем делить текущую группу орешков на 3 равные группы и сравнивать их между собой.

2) В случае, если текущее взвешивание показывает равенство, то у нас остается две неразвешенные группы орешков и два оставшихся взвешивания.
Если группы орешков соединены в пропорции 1:1, то мы знаем, что пустой орех находится в одной из этих двух групп.

3) В противном случае, если текущее взвешивание показывает, что правая чаша весов тяжелее левой, то мы знаем, что пустой орех находится среди орешков на правой чаше. И наоборот, если левая чаша весов тяжелее, то пустой орех находится на левой чаше.

Затем, для каждой из двух оставшихся групп, которые могут содержать пустой орех, повторяем процесс взвешивания с использованием \(N/3\) орешков.

4) Если у нас остается только один орешек, то мы знаем, что это пустой орех.

Продолжаем данный процесс, пока не найдем пустой орех или не достигнем максимального количества взвешиваний.

Теперь рассмотрим общий случай. Для каждого взвешивания, мы тратим 1 шаг. Когда мы получаем равенство на весах, мы можем провести еще 2 взвешивания для двух оставшихся групп орешков. Количество оставшихся групп орешков следует уменьшать до одной в каждом случае. Изначально у нас есть \(N\) орешков, и мы хотим потратить не более 12 взвешиваний. Таким образом, необходимо найти максимальное значение \(N\), чтобы сумма шагов взвешивания и шагов дополнительных взвешиваний не превышала 12.

Давайте решим задачу для каждого возможного количества взвешиваний \(N = 1, 2, 3, \ldots, 12\) и найдем наибольшее значение \(N\), при котором сумма шагов не превышает 12.

- При \(N = 1\): первое взвешивание будет иметь вид: один орешек на каждой чаше весов. В этом случае, мы получаем равенство и тратим 1 шаг. Но у нас нет дополнительных взвешиваний, поэтому сумма шагов равна 1.
- При \(N = 2\): первое взвешивание будет иметь вид: два орешка на каждой чаше весов. Мы получаем равенство, затем проводим два дополнительных взвешивания с одним орешком каждое. Таким образом, сумма шагов равна 1 + 2 = 3.
- При \(N = 3\): первое взвешивание будет иметь вид: три орешка на каждой чаше весов. Мы получаем равенство, затем проводим два дополнительных взвешивания с одним орешком каждое для двух оставшихся групп. Таким образом, сумма шагов равна 1 + 2 + 2 = 5.
- Продолжаем решать задачу для оставшихся значений \(N\) и получаем следующие результаты:

\[
\begin{align*}
N = 4 & : 1 + 2 + 2 + 2 = 7 \\
N = 5 & : 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 \\
N = 6 & : 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 11 \\
N = 7 & : 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13 \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что сумма шагов превышает 12 при \(N = 7\), поэтому максимальное количество орешков, которое должна иметь Белла, чтобы уверенно найти пустой орех при не более чем 12 взвешиваниях, равно 6.

Таким образом, Белла должна иметь не менее 6 орешков, чтобы уверенно найти пустой орех, совершив не более 12 взвешиваний на чашечных весах без гирь у мистера Фокса.