Чему равно основание прямоугольника, если высота на 5 меньше основания? Каковы периметр и площадь прямоугольника?

Пусть основание прямоугольника равно \( x \) единицам длины. Тогда по условию, высота прямоугольника будет равна \( x - 5 \) единицам длины.

Периметр прямоугольника находится как сумма длин всех его сторон. У нас есть две стороны основания длиной \( x \) и две стороны высотой \( x - 5 \). Следовательно, периметр прямоугольника равен:

\[ P = 2x + 2(x - 5) \]

Решим эту формулу:

\[ P = 2x + 2x - 10 = 4x - 10 \]

Таким образом, периметр прямоугольника равен \( 4x - 10 \) единицам длины.

Площадь прямоугольника находится как произведение основания на высоту. То есть:

\[ S = x \cdot (x - 5) \]

Раскроем скобки:

\[ S = x^2 - 5x \]

Таким образом, площадь прямоугольника равна \( x^2 - 5x \) квадратным единицам.

Теперь решим систему уравнений для нахождения значения основания \( x \):
\[
\begin{cases}
P = 4x - 10 \\
S = x^2 - 5x
\end{cases}
\]

Можно найти значение \( x \), подставив значение периметра \( P \) и площади \( S \) в систему уравнений и решать ее. Однако, в данном случае проще рассмотреть графический метод.

Построим графики двух функций и найдем точку их пересечения. На оси абсцисс будем откладывать значение \( x \), а на оси ординат - значение \( P \) и \( S \).

График функции периметра \( P(x) = 4x - 10 \) представляет собой прямую, проходящую через точку с отрицательной ординатой и с положительным угловым коэффициентом \( 4 \). График функции площади \( S(x) = x^2 - 5x \) представляет собой параболу, открытую вверх.

Найдем точку пересечения графиков, которая соответствует значению \( x \):

\[ P(x) = S(x) \]

\[ 4x - 10 = x^2 - 5x \]

\[ x^2 - 9x + 10 = 0 \]

Решить квадратное уравнение можно разложением его на множители:

\[ (x - 10)(x - 1) = 0 \]

Таким образом, получаем два возможных значения основания прямоугольника: \( x = 10 \) или \( x = 1 \).

Если \( x = 10 \), то высота будет равна \( 10 - 5 = 5 \), а периметр и площадь прямоугольника равны:

\[ P = 4 \cdot 10 - 10 = 30 \]
\[ S = 10^2 - 5 \cdot 10 = 50 \]

Если \( x = 1 \), то высота будет равна \( 1 - 5 = -4 \), что не является допустимым значением для высоты прямоугольника.

Таким образом, длина основания прямоугольника равна 10 единицам, а периметр и площадь прямоугольника равны соответственно 30 и 50 квадратным единицам.