Какое множество значений переменной y является допустимым для выражения y-1/y(y+4)?

Для того чтобы определить допустимое множество значений переменной \(y\) в данном выражении \(y-\frac{1}{y(y+4)}\), начнем с исследования ограничений, которых может подчиняться переменная \(y\).

Первое ограничение появляется в знаменателе дроби, \(y(y+4)\). В этом выражении, знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль является невозможным. Поэтому мы должны исключить значения \(y\), при которых знаменатель обращается в ноль. Исключим два возможных случая: \(y=0\) и \(y=-4\).

Теперь рассмотрим другую часть выражения \(y-\frac{1}{y(y+4)}\). Для того чтобы определить допустимые значения \(y\), обратимся к понятию домена функции. Вычитание не имеет особых ограничений, поэтому оно не ограничивает наше множество значений для \(y\).

Теперь проанализируем дробную часть \(\frac{1}{y(y+4)}\). Здесь у нас нет деления на ноль, так как мы уже исключили такие значения \(y\), но есть другое ограничение. Обратим внимание, что числитель \(1\) всегда положителен, независимо от значения переменной \(y\). Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть также положительным.

Найдем значения переменной \(y\), при которых знаменатель \(y(y+4)\) будет положительным. Для этого рассмотрим знаки множителей \(y\) и \(y+4\).

1. Если \(y>0\), тогда \(y+4>0\), так как положительное число \((y)\) плюс положительное число \((4)\), даст положительное число.
2. Если \(y<0\), тогда \(y+4<0\), так как отрицательное число \((y)\) плюс положительное число \((4)\), даст отрицательное число.

Таким образом, знаменатель \(y(y+4)\) будет положительным, если \(y>0\) или \(y<-4\).

Итак, после анализа ограничений в данном выражении \(y-\frac{1}{y(y+4)}\), мы можем сформулировать ответ:

Допустимым множеством значений переменной \(y\) являются все действительные числа, кроме \(y=0\) и \(y=-4\), исключая отрицательные числа в интервале \(-4