Какое минимальное значение принимает функция y=x^3 - 9,5x^2+28x-14 в пределах отрезка [2;10]?

Для решения данной задачи, мы должны найти наименьшее значение функции \(y = x^3 - 9.5x^2 + 28x - 14\) на отрезке [2;10]. Для начала, найдем значения функции на границах данного отрезка.

Подставим \(x = 2\) в выражение функции:
\(y = (2)^3 - 9.5(2)^2 + 28(2) - 14\)
\(y = 8 - 9.5(4) + 56 - 14\)
\(y = 8 - 38 + 56 - 14\)
\(y = 12\)

Теперь, подставим \(x = 10\) в выражение функции:
\(y = (10)^3 - 9.5(10)^2 + 28(10) - 14\)
\(y = 1000 - 9.5(100) + 280 - 14\)
\(y = 1000 - 950 + 280 - 14\)
\(y = 316\)

Таким образом, мы получили значения функции на границах отрезка:
\(y = 12\) при \(x = 2\) и \(y = 316\) при \(x = 10\).

Теперь нам нужно найти значения функции внутри отрезка, чтобы определить, где достигается минимальное значение. Для этого мы можем использовать метод дифференцирования.

Дифференцируем функцию \(y = x^3 - 9.5x^2 + 28x - 14\) по переменной \(x\) для нахождения экстремумов:
\(\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 19x + 28\)

Находим корни данного уравнения, приравнивая его к нулю:
\(3x^2 - 19x + 28 = 0\)

Для нахождения корней можем использовать квадратное уравнение или просто заметить, что \(x = 2\) - один из корней. Делаем деление многочленов синтетическим методом:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
2 & 3 & -19 & 28 \\
& 6 & -26 & 4 \\
\hline
3 & -13 & 2 & 32 \\
\end{array}
\]

Таким образом, получаем разложение многочлена \((3x^2 - 19x + 28) = (x - 2)(3x - 13)\).

Получаем два значения, которые дают нам экстремумы функции:
\(x_1 = 2\) и \(x_2 = \frac{13}{3}\).

Теперь подставим эти значения в выражение функции \(y = x^3 - 9.5x^2 + 28x - 14\) для определения значений функции в данных точках.

При \(x = 2\):
\(y_1 = (2)^3 - 9.5(2)^2 + 28(2) - 14\)
\(y_1 = 8 - 9.5(4) + 56 - 14\)
\(y_1 = 12\)

При \(x = \frac{13}{3}\):
\(y_2 = \left(\frac{13}{3}\right)^3 - 9.5\left(\frac{13}{3}\right)^2 + 28\left(\frac{13}{3}\right) - 14\)

Для удобства, представим \(\frac{13}{3}\) в виде десятичной дроби:
\(y_2 \approx 161.30\)

Таким образом, мы получили значения функции в точках \(x = 2\) и \(x = \frac{13}{3}\):
\(y_1 = 12\) и \(y_2 \approx 161.30\).

Из этого можно заключить, что минимальное значение функции \(y = x^3 - 9.5x^2 + 28x - 14\) на отрезке [2;10] равно 12.