Какое минимальное значение имеет функция y=x^3-19,5x^2+90x+22 на интервале [8;13]? Кроме того, требуется построить

Хорошо, давайте вместе решим задачу.

Для того чтобы найти минимальное значение функции \(y = x^3 - 19.5x^2 + 90x + 22\) на интервале \([8;13]\), нам нужно найти точку, в которой достигается минимум.

Шаг 1: Найдем критические точки нашей функции. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для этого возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю:

\[\frac{{dy}}{{dx}} = 3x^2 - 39x + 90 = 0\]

Шаг 2: Решим полученное уравнение для нахождения критических точек. Для этого можно использовать квадратное уравнение или график функции. Давайте воспользуемся графиком, чтобы получить приближенное значение:

\[
\begin{align*}
x^2 - 13x + 30 &= 0 \\
(x - 3)(x - 10) &= 0
\end{align*}
\]

Итак, у нас две критические точки: \(x_1 = 3\) и \(x_2 = 10\).

Шаг 3: Найдем значение функции в этих критических точках. Подставим \(x_1\) и \(x_2\) в исходную функцию для получения соответствующих значений \(y_1 = f(x_1)\) и \(y_2 = f(x_2)\):

\[
\begin{align*}
y_1 &= 3^3 - 19.5 \cdot 3^2 + 90 \cdot 3 + 22 \\
y_1 &= -34.5
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
y_2 &= 10^3 - 19.5 \cdot 10^2 + 90 \cdot 10 + 22 \\
y_2 &= 182
\end{align*}
\]

Шаг 4: Определим, какая из двух критических точек является минимумом. На интервале \([8;13]\) критическая точка \(x_1 = 3\) находится за пределами интервала, поэтому мы можем его исключить. Следовательно, минимальное значение функции на интервале \([8;13]\) достигается в точке \(x_2 = 10\), а его значение составляет \(y_2 = 182\).

Шаг 5: Построим график функции, чтобы визуально увидеть минимальное значение. Выглядит следующим образом:

\["

Вот и все! Минимальное значение функции на интервале \([8;13]\) равно 182, а его точка минимума находится при \(x = 10\). Надеюсь, это решение и объяснение понятно для вас. Если у вас есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать!