Какое минимальное значение имеет функция y=x^2+256/x на интервале [1;25]?
Suzi
Чтобы найти минимальное значение функции \(y = x^2 + \frac{256}{x}\) на интервале \([1; 25]\), нужно сначала найти критические точки функции. Для этого найдём производную функции по переменной \(x\) и приравняем её к нулю:
\[y" = 2x - \frac{256}{x^2} = 0.\]
Решим это уравнение:
\[2x = \frac{256}{x^2}.\]
Умножим обе части уравнения на \(x^2\):
\[2x^3 = 256.\]
Разделим обе части на 2:
\[x^3 = 128.\]
Извлечем кубический корень из обеих частей:
\[x = \sqrt[3]{128}.\]
Таким образом, критическая точка функции на интервале \([1; 25]\) будет равна \(x \approx 5.039\).
Теперь найдем значения функции \(y\) в концах интервала. Подставим \(x = 1\) и \(x = 25\) в исходную функцию:
\[y(1) = 1^2 + \frac{256}{1} = 1 + 256 = 257,\]
\[y(25) = 25^2 + \frac{256}{25} = 625 + 10.24 = 635.24.\]
Теперь можно сравнить значения функции в критической точке и в концах интервала:
\[
\begin{align*}
y(1) &= 257, \\
y(5.039) &\approx 260.08, \\
y(25) &= 635.24.
\end{align*}
\]
Таким образом, минимальное значение функции \(y = x^2 + \frac{256}{x}\) на интервале \([1; 25]\) равно около 260.08, и достигается оно примерно при \(x \approx 5.039\).
\[y" = 2x - \frac{256}{x^2} = 0.\]
Решим это уравнение:
\[2x = \frac{256}{x^2}.\]
Умножим обе части уравнения на \(x^2\):
\[2x^3 = 256.\]
Разделим обе части на 2:
\[x^3 = 128.\]
Извлечем кубический корень из обеих частей:
\[x = \sqrt[3]{128}.\]
Таким образом, критическая точка функции на интервале \([1; 25]\) будет равна \(x \approx 5.039\).
Теперь найдем значения функции \(y\) в концах интервала. Подставим \(x = 1\) и \(x = 25\) в исходную функцию:
\[y(1) = 1^2 + \frac{256}{1} = 1 + 256 = 257,\]
\[y(25) = 25^2 + \frac{256}{25} = 625 + 10.24 = 635.24.\]
Теперь можно сравнить значения функции в критической точке и в концах интервала:
\[
\begin{align*}
y(1) &= 257, \\
y(5.039) &\approx 260.08, \\
y(25) &= 635.24.
\end{align*}
\]
Таким образом, минимальное значение функции \(y = x^2 + \frac{256}{x}\) на интервале \([1; 25]\) равно около 260.08, и достигается оно примерно при \(x \approx 5.039\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
