Какое минимальное значение имеет функция y=x^2+256/x на интервале [1;25]?

Question

Алгебра: Какое минимальное значение имеет функция y=x^2+256/x на интервале [1;25]?

Suzi · Accepted Answer

Чтобы найти минимальное значение функции

y = x^{2} + \frac{256}{x}

на интервале

[1; 25]

, нужно сначала найти критические точки функции. Для этого найдём производную функции по переменной

x

и приравняем её к нулю:

y " = 2 x - \frac{256}{x^{2}} = 0.

Решим это уравнение:

2 x = \frac{256}{x^{2}} .

Умножим обе части уравнения на

x^{2}

:

2 x^{3} = 256.

Разделим обе части на 2:

x^{3} = 128.

Извлечем кубический корень из обеих частей:

x = \sqrt[3]{128} .

Таким образом, критическая точка функции на интервале

[1; 25]

будет равна

x \approx 5.039

.

Теперь найдем значения функции

y

в концах интервала. Подставим

x = 1

и

x = 25

в исходную функцию:

y (1) = 1^{2} + \frac{256}{1} = 1 + 256 = 257,

y (25) = 25^{2} + \frac{256}{25} = 625 + 10.24 = 635.24 .

Теперь можно сравнить значения функции в критической точке и в концах интервала:

\begin{aligned} y (1) & = 257, \\ y (5.039) & \approx 260.08, \\ y (25) & = 635.24 . \end{aligned}

Таким образом, минимальное значение функции

y = x^{2} + \frac{256}{x}

на интервале

[1; 25]

равно около 260.08, и достигается оно примерно при

x \approx 5.039

.