Какое минимальное расстояние от вершины может быть, на котором тело находится внутри вертикально расположенного конуса

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать принципы равновесия тела внутри конуса. Минимальное расстояние и максимальное значение будут зависеть от положения тела.

Давайте начнем с рассмотрения минимального расстояния. Мы знаем, что тело находится внутри вертикально расположенного конуса и вращается вместе с конусом. Чтобы тело не двигалось вниз, сила трения между телом и поверхностью конуса должна противодействовать весу тела.

Сила трения \(F_{\text{тр}}\) выражается следующей формулой:
\[F_{\text{тр}} = \mu \cdot N,\]
где \(\mu\) - коэффициент трения, а \(N\) - нормальная сила.

Нормальная сила \(N\) определяет равновесие тела и направлена вверх по отношению к поверхности конуса. Она представляет собой разность вектора веса тела \(mg\) и центростремительной силы \(F_{\text{ц}}\):
\[N = mg - F_{\text{ц}}.\]

Центростремительная сила \(F_{\text{ц}}\) определяется следующей формулой:
\[F_{\text{ц}} = m \cdot r \cdot w^2,\]
где \(m\) - масса тела, \(r\) - радиус-вектор тела от оси вращения (равен расстоянию до вершины конуса), а \(w\) - угловая скорость конуса.

Таким образом, мы получаем следующее выражение для нормальной силы:
\[N = mg - m \cdot r \cdot w^2.\]

Поскольку сила трения равна \(\mu \cdot N\), мы можем записать уравнение равновесия:
\[\mu \cdot (mg - m \cdot r \cdot w^2) = mg.\]

Раскрываем скобки:
\[\mu \cdot mg - \mu \cdot m \cdot r \cdot w^2 = mg.\]

Выделяем \(m\) и преобразуем уравнение:
\[(\mu - 1) \cdot mg = \mu \cdot m \cdot r \cdot w^2.\]

Исключаем массу \(m\) из уравнения:
\[(\mu - 1) \cdot g = \mu \cdot r \cdot w^2.\]

Теперь найдем выражение для радиуса-вектора \(r\):
\[r = \frac{g \cdot (\mu - 1)}{\mu \cdot w^2}.\]

Подставим данные значения: \(\mu = 0.2\) и \(w = 7 \, \text{рад/с}\):
\[r = \frac{9.8 \cdot (0.2 - 1)}{0.2 \cdot 7^2}.\]

Выполняем вычисления:
\[r = \frac{9.8 \cdot (-0.8)}{0.2 \cdot 49}.\]
\[r \approx -2.04 \, \text{м}.\]

Так как расстояние не может быть отрицательным, мы отбрасываем отрицательное значение и получаем минимальное расстояние около \(2.04 \, \text{м}\).

Теперь перейдем к рассмотрению максимального значения расстояния. Мы снова будем использовать уравнение равновесия, но на этот раз рассмотрим случай, когда тело прилипает к вершине конуса.

Когда тело находится в вершине, сила трения \(F_{\text{тр}}\) будет равна нулю, поскольку нет относительного движения между телом и поверхностью конуса.

Уравнение равновесия в этом случае будет следующим:
\[mg = m \cdot r \cdot w^2.\]

Раскрываем скобки и преобразуем уравнение:
\[g = r \cdot w^2.\]

Теперь найдем выражение для радиуса-вектора \(r\):
\[r = \frac{g}{w^2}.\]

Подставим данные значения: \(g = 9.8 \, \text{м/с}^2\) и \(w = 7 \, \text{рад/с}\):
\[r = \frac{9.8}{7^2}.\]

Выполняем вычисления:
\[r = \frac{9.8}{49}.\]
\[r \approx 0.2 \, \text{м}.\]

Таким образом, максимальное значение расстояния составляет около \(0.2 \, \text{м}\).

Итак, минимальное расстояние около \(2.04 \, \text{м}\), а максимальное значение составляет около \(0.2 \, \text{м}\).