Какое минимальное количество шариков требуется использовать для полного покраски всей доски размером 6x6 клеток, если

Наша задача состоит в том, чтобы определить минимальное количество шариков, необходимых для полного покраски доски 6x6 клеток, при условии, что нельзя кидать шарики в угловые клетки.

Давайте посмотрим на саму доску. У нее имеется 6 рядов и 6 столбцов, что дает нам общее количество клеток равное 36 клеткам.

Чтобы решить эту задачу, рассмотрим каждую из возможных клеток и определим, какие из них требуют покраски, а какие можно пропустить.

Угловые клетки - те, которые находятся на углах доски - нам нельзя красить. Их всего 4: верхний левый угол, верхний правый угол, нижний левый угол и нижний правый угол.

Так как наша доска имеет размер 6x6, у нас всего 4 угловых клетки.

Теперь взглянем на остальные клетки. Если мы их пронумеруем, то посмотрим на следующие строки и столбцы:

\[
\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 \\
19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 \\
25 & 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \\
31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 \\
\end{array}
\]

Разделим эти клетки на две группы: "A" и "B". Группа "A" будет состоять из клеток, которые имеют близлежащие угловые клетки. Группа "B" будет представлять собой остальные клетки.

Мы выделим клетки группы "A" цифрой "1", и клетки группы "B" цифрой "2".

\[
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\
\end{array}
\]

Как мы видим, клетки группы "A" должны быть покрашены, так как они имеют близлежащие угловые клетки, которые нельзя красить. Остальные клетки в группе "B" могут быть пропущены.

Таким образом, для покраски всей доски размером 6x6 клеток, нам нужно рассмотреть клетки группы "A" и покрасить их. В нашем случае это 10 клеток.

\[
\begin{array}{cccccc}
{\color{red} 1} & {\color{red} 1} & 2 & 2 & 2 & {\color{red} 1} \\
{\color{red} 1} & {\color{red} 1} & 2 & 2 & 2 & {\color{red} 1} \\
2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
{\color{red} 1} & {\color{red} 1} & 2 & 2 & 2 & {\color{red} 1} \\
\end{array}
\]

Таким образом, минимальное количество шариков, необходимых для полной покраски доски размером 6x6 клеток без учета угловых клеток, составляет 10. Шарики следует бросать в клетки, помеченные цифрой "1" в представленной нами схеме.

Почему нельзя полностью покрасить доску меньшим количеством шариков? Поскольку в каждой группе "A" есть хотя бы одна клетка, которая не имеет общие рядом расположенные клетки с другими клетками в группе "A". Эта клетка остается непокрашенной, и чтобы покрасить её, нам понадобится, как минимум, еще один шарик. Таким образом, мы не можем найти покрытие для такой доски, требующее меньшего количества шариков, чем 10.