Какое максимальное значение принимает функция y=5sinx-6x+3 на интервале (0, π/2)?

Чтобы найти максимальное значение функции \( y = 5\sin(x) - 6x + 3 \) на интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции.
2. Приравняйте первую производную к нулю и найдите ее корни.
3. Определите значения функции на концах интервала.
4. Подставьте найденные значения в функцию чтобы определить максимальное значение.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \( y = 5\sin(x) - 6x + 3 \) по переменной \( x \).

\[ y" = 5\cos(x) - 6 \]

Шаг 2: Приравниваем \( y" \) к нулю и находим корни.

\[ 5\cos(x) - 6 = 0 \]
\[ 5\cos(x) = 6 \]
\[ \cos(x) = \frac{6}{5} \]

Из этого уравнения мы можем найти два значения \( x \) на интервале \( (0, \frac{\pi}{2}) \). Оne is \( x_1 = \arccos(\frac{6}{5}) \) и \( x_2 = -\arccos(\frac{6}{5}) \).

Шаг 3: Определите значения функции на концах интервала.

Для \( x = 0 \), \( y = 5\sin(0) - 6(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3 \).

Для \( x = \frac{\pi}{2} \), \( y = 5\sin(\frac{\pi}{2}) - 6(\frac{\pi}{2}) + 3 = 5-3\pi+3 \approx -0.57 \).

Шаг 4: Подставим найденные значения функции в \( y \) чтобы определить максимальное значение.

Теперь осталось только сравнить значения функции в найденных точках и на концах интервала, чтобы найти максимальное значение. Найденные значения: \( y(x_1) \), \( y(x_2) \), \( y(0) \), \( y(\frac{\pi}{2}) \). Найденное максимальное значение - это самое большое из этих четырех.