Какое максимальное значение можно получить для выражения х+у, при условии, что х^2+у^2 меньше или равно 2022х+2022у?

Для решения данной задачи нам необходимо найти максимальное значение выражения \(x + y\), учитывая условие \(x^2 + y^2 \leq 2022x + 2022y\).

Давайте проведем следующие шаги для решения задачи:

1. Перепишем условие неравенства, чтобы избавиться от их квадратных степеней:
\[x^2 + y^2 \leq 2022x + 2022y\]

2. Перенесем все члены в левую часть и перепишем неравенство в канонической форме:
\[x^2 - 2022x + y^2 - 2022y \leq 0\]

3. Для удобства расчетов проведем дополнение квадратов, добавив и вычтя одно и то же число, равное половине коэффициента при \(x\) (в данном случае это число -1011) в квадрате и половине коэффициента при \(y\) (в данном случае это число -1011) в квадрате:
\[x^2 - 2022x + (-1011)^2 + y^2 - 2022y + (-1011)^2 \leq (-1011)^2 + (-1011)^2\]

Получаем:
\[(x - 1011)^2 + (y - 1011)^2 \leq 2 \cdot (1011)^2\]

4. Заметим, что левая часть неравенства представляет собой уравнение окружности с центром в точке (1011, 1011) и радиусом \(\sqrt{2 \cdot (1011)^2}\).

5. Максимальное значение выражения \(x + y\) будет достигаться в точке окружности, где левая часть неравенства примет максимальное значение.
Поскольку \(x + y\) — это сумма координат точки, максимальное значение будет достигаться в крайней правой точке окружности с координатами \((1011 + \sqrt{2 \cdot (1011)^2}, 1011)\).

6. Вычислим это значение:
\[x + y = 1011 + \sqrt{2 \cdot (1011)^2}\]

Таким образом, максимальное значение выражения \(x + y\) при условии \(x^2 + y^2 \leq 2022x + 2022y\) равно \(1011 + \sqrt{2 \cdot (1011)^2}\).