Какое максимальное пятизначное число является 138-кратным квадрату суммы своих цифр?

Чтобы решить данную задачу, мы должны разложить ее на несколько шагов. Давайте начнем.

Шаг 1: Найдем сумму цифр пятизначного числа.
Поскольку мы ищем максимальное пятизначное число, возьмем 9 в качестве первой цифры. Тогда у нас останется 4 цифры для выбора, причем каждая цифра может быть от 0 до 9. Таким образом, сумма цифр будет равна \(9 + a + b + c + d\), где a, b, c и d - это оставшиеся цифры числа.

Шаг 2: Возводим сумму цифр в квадрат.
Мы знаем, что число должно быть 138-кратным квадрату его суммы цифр. То есть, \((9 + a + b + c + d)^2\) должно быть кратно 138.

Шаг 3: Находим возможные значения суммы цифр.
Разложим квадрат суммы цифр согласно формуле квадрата суммы двух слагаемых:
\((9 + a + b + c + d)^2 = 81 + 18a + 18b + 18c + 18d + a^2 + b^2 + c^2 + d^2\)

Шаг 4: Находим условие для максимального пятизначного числа.
Мы знаем, что число должно быть пятизначным, поэтому наше число должно быть меньше или равно 99999. Это означает, что \((9 + a + b + c + d)^2\) должно быть меньше или равно 99999.

Шаг 5: Приводим полученное условие к неравенству.
Таким образом, мы можем записать неравенство: \(81 + 18a + 18b + 18c + 18d + a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 99999\).

Шаг 6: Находим максимальное возможное значение для каждой цифры.
Разложим неравенство для каждой цифры:
\(9a + a^2 \leq 9990\),
\(9b + b^2 \leq 990\),
\(9c + c^2 \leq 90\),
\(9d + d^2 \leq 0\).

Шаг 7: Находим максимальные значения для каждой цифры.
Решим неравенства по очереди:
Для первой цифры:
\(9a + a^2 \leq 9990\)
Решив это неравенство, мы получим a = 0 (поскольку 9990 - 0 = 9990, что является наибольшим значением).

Для второй цифры:
\(9b + b^2 \leq 990\)
Решив это неравенство, мы получим b = 9 (поскольку 990 - 81 = 909, что является наибольшим значением).

Для третьей цифры:
\(9c + c^2 \leq 90\)
Решив это неравенство, мы получим c = 9 (поскольку 90 - 81 = 9, что является наибольшим значением).

Для четвертой цифры:
\(9d + d^2 \leq 0\)
Разделим это уравнение на d получим \(9 + d \leq 0\), что является невозможным неравенством.

Шаг 8: Находим итоговое число.
Таким образом, максимальное пятизначное число, которое является 138-кратным квадрату суммы своих цифр, равно 90909.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять процесс решения данной задачи!