Какое максимальное количество повторяющихся чисел 2011 может получиться, если Юля выписала в ряд числа от 1

Обратим внимание на два факта:
1. В данной задаче рассматривается переписывание подчеркнутых цифр, исключая не подчеркнутые цифры. Важно учесть, что подчеркивается каждое второе число в ряду от 1 до 100, включая 1 и исключая 100. Это означает, что мы будем подчеркивать следующие числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ..., 99. Пропускаем число 100, так как оно не подлежит подчеркиванию.
2. После подчеркивания их нужно переписать без пробелов в том же порядке.

Исходя из этих фактов, для решения задачи необходимо определить количество чисел, которые подчеркиваются, и затем удостовериться, что в итоговой строке 20112011... повторяющиеся числа 2011 могут получиться.

Рассмотрим первый факт более подробно. Количество чисел, которые подчеркиваются, и входят в итоговую строку, равно количеству чисел от 1 до 99, кратных 2 (за исключением числа 100). Найдем это количество.

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)\]

где \(n\) - количество элементов, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(a_n\) - последний элемент прогрессии.

В нашем случае, прогрессия будет состоять из всех чисел от 2 до 98 с шагом 2 (это числа, которые будут подчеркнуты и войдут в итоговую строку). Таким образом, количество чисел равно:

\[n = \frac{98 - 2}{2} + 1 = 49\]

Теперь мы знаем, что в итоговой строке будет 49 чисел.

Далее необходимо проверить, можно ли из этих 49 чисел получить максимальное количество повторяющихся чисел 2011.

Количество повторений числа 2011 в строке зависит от количества повторений строки 2011. Поэтому нам нужно определить, сколько раз строка 2011 встречается в итоговой строке.

2011 встречается в итоговой строке, если и только если последние цифры каждого элемента строки совпадают с последними цифрами числа 2011 (11 в данном случае).

Поскольку последние цифры десятичных чисел между 0 и 99 составляют одинаковую перестановку (0, 1, 2, ..., 9, 0, 1, 2, ..., 9, ...), то количество повторений строки 2011 в итоговой строке равно количеству чисел от 1 до 49, кратных 10 (поскольку только они совпадают с последними цифрами числа 2011). Найдем это количество.

Так как 10 - это шаг прогрессии, вместо формулы для суммы арифметической прогрессии, мы можем просто использовать деление.

\[k = \frac{49}{10} = 4\]

Таким образом, строка 2011 повторяется 4 раза.

Следовательно, в итоговой строке максимально возможное количество повторяющихся чисел 2011 равно 4.