Какое максимальное количество нулей может быть в бесконечной арифметической прогрессии, которая достигает 2000-го

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти формулу общего члена арифметической прогрессии и использовать ее для определения максимального количества нулей.

Формула для общего члена арифметической прогрессии имеет вид:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Где:
- \(a_n\) - это \(n\)-й член прогрессии
- \(a_1\) - это первый член прогрессии
- \(n\) - это номер члена прогрессии
- \(d\) - это разность между соседними членами прогрессии

Мы знаем, что \(a_n = 2000\), и нам нужно найти \(n\), при котором \(a_n\) будет содержать максимальное количество нулей.

Давайте предположим, что разность между соседними членами прогрессии \(d\) составляет 1. В этом случае первые несколько членов прогрессии будут:

\[a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 3, a_4 = 4, a_5 = 5, \ldots\]

Видим, что ни одно число не содержит нулей. Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если \(d\) будет равно 10. В этом случае первые несколько членов прогрессии будут:

\[a_1 = 1, a_2 = 11, a_3 = 21, a_4 = 31, a_5 = 41, \ldots\]

Мы видим, что единственное число, содержащее ноль в этой последовательности, это 10, но оно не входит в первые 2000 членов прогрессии.

Итак, оптимальным выбором для разности \(d\) будет 10, потому что это дает нам наибольшее количество нулей в членах прогрессии.

Теперь, чтобы найти количество нулей в \(n\)-м члене прогрессии, мы должны найти максимальное значение \(n\), при котором \(a_n\) не превышает 2000.

Для этого, воспользуемся формулой для общего члена прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставим значения: \(a_n = 2000\), \(a_1 = 1\), \(d = 10\).

\[2000 = 1 + (n - 1) \cdot 10\]

Решим это уравнение для \(n\):

\[n - 1 = \frac{2000 - 1}{10}\]
\[n - 1 = \frac{1999}{10}\]
\[n = \frac{1999}{10} + 1\]
\[n = 200 + 1\]
\[n = 201\]

Таким образом, максимальное количество нулей в бесконечной арифметической прогрессии, достигающей 2000-го члена, составляет 201.