Какое максимальное количество крестиков можно разместить на доске, чтобы не образовался ряд из 6 крестиков подряд?

Чтобы решить эту задачу, давайте представим себе доску и попытаемся разместить максимальное количество крестиков без образования ряда из 6 крестиков подряд.

Допустим, у нас есть доска размером 10 на 10 клеток. Мы можем разместить по одному крестику в каждой клетке первой строки. Таким образом, у нас будет 10 крестиков в первой строке.

Во второй строке мы можем разместить еще 10 крестиков, но мы должны быть осторожными, чтобы не создать ряд из 6 крестиков. Мы можем разместить первый крестик во второй строке в любой из клеток первой строки. Количество возможных вариантов для первого крестика - 10.

После размещения первого крестика второй строки, у нас остается 9 клеток, в которых мы можем разместить второй крестик. Таким образом, количество вариантов для второго крестика - 9.

Аналогичным образом, для третьего крестика второй строки у нас будет 8 вариантов. И так далее, пока не закончатся клетки второй строки.

Таким образом, общее количество вариантов для размещения крестиков во второй строке будет равно сумме чисел от 1 до 10: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55\).

Аналогично можно продолжить для оставшихся строк на доске. Таким образом, общее количество крестиков будет равно: \(10 + 55 + 55 + \ldots + 55 = 10 + 9 \cdot 55 = 10 + 495 = 505\).

Итак, максимальное количество крестиков, которое можно разместить на доске размером 10 на 10 клеток, чтобы не образовался ряд из 6 крестиков подряд, равно 505.