Какое максимальное количество гостей могло взять по кусочку торта, чтобы угол сектора остался острым?

Для того чтобы угол сектора остался острым, нужно чтобы количество гостей не превышало 6. Позвольте мне объяснить, как мы приходим к такому ответу.

Допустим, что торт является кругом, а гости должны разделить его на равные кусочки, а им сами создается набор из \(n\) кусочков. Количество кусочков в секторе можно представить углом сектора, который графически делится на одинаковые части.

Теперь давайте предположим, что угол сектора составляет \(x\) градусов. Весь круг имеет угол \(360\) градусов, поэтому у нас есть уравнение:

\[n \cdot x = 360\]

где \(n\) - количество гостей, \(x\) - угол сектора в градусах. Решим данное уравнение относительно \(n\):

\[n = \frac{360}{x}\]

Мы знаем, что угол сектора должен быть острым, а значит его величина \(x\) должна быть меньше \(180\) градусов.

Какое максимальное значение \(n\) можно получить, чтобы угол сектора остался острым? Рассмотрим случай, когда \(x = 179\) градусов:

\[n = \frac{360}{179} \approx 2.011\]

В этом случае количество гостей будет округлено до 2.

Однако, если мы возьмем \(x = 178\) градусов:

\[n = \frac{360}{178} \approx 2.022\]

И снова округлим до 2.

Мы видим, что при любом угле сектора \(x\), близком к \(180\) градусам, полученное значение для \(n\) будет округлено до 2. При \(x = 180\) градусов, получим \(n = \frac{360}{180} = 2\).

Таким образом, максимальное количество гостей, которое может взять по кусочку торта, чтобы угол сектора остался острым, равно 2.