Какое максимальное и минимальное значение функции y=x^2 на промежутке (0;2)?

Хорошо, давайте решим задачу о нахождении максимального и минимального значения функции \(y=x^2\) на заданном промежутке \((0, 2)\).

Для начала, давайте найдем производную функции \(y=x^2\). Производная функции \(y=x^2\) равна \(2x\). Производная показывает нам тангенс угла наклона касательной к графику функции в каждой точке.

Теперь, чтобы найти экстремумы функции, нужно приравнять производную к нулю и найти значения \(x\), при которых это условие выполняется. В данном случае, уравнение \(2x=0\) будет иметь одно решение \(x=0\).

Однако, нас интересует только промежуток \((0, 2)\). Таким образом, исключим \(x=0\) и рассмотрим только точки \(x\), лежащие внутри данного промежутка. То есть, нам интересны значения функции \(y\) в точке \(x=1\) и \(x=2\).

Подставим значения \(x=1\) и \(x=2\) в исходную функцию \(y=x^2\). Получим:

\(y=1^2=1\) при \(x=1\)

\(y=2^2=4\) при \(x=2\)

Таким образом, минимальное значение функции \(y=x^2\) на промежутке \((0, 2)\) равно 1 и достигается в точке \(x=1\), а максимальное значение равно 4 и достигается в точке \(x=2\).

Мы использовали производную функции для определения точек экстремума и значения функции \(y\) в этих точках. Проверим наш ответ, построив график функции \(y=x^2\) на промежутке \((0, 2)\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & y=x^2 \\
\hline
0.5 & 0.25 \\
1 & 1 \\
1.5 & 2.25 \\
2 & 4 \\
\end{array}
\]

Как видно из графика, функция имеет минимум в точке \(x=1\) и максимум в точке \(x=2\), подтверждая наше решение.

Надеюсь, это пояснение помогло вам понять, как найти максимальное и минимальное значение функции \(y=x^2\) на промежутке \((0, 2)\). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.