Какое максимальное и минимальное значение функции y=x^2 на промежутке (0;2)?

Хорошо, давайте решим задачу о нахождении максимального и минимального значения функции $y=x^2$ на заданном промежутке $(0,2)$.

Для начала, давайте найдем производную функции $y=x^2$. Производная функции $y=x^2$ равна $2x$. Производная показывает нам тангенс угла наклона касательной к графику функции в каждой точке.

Теперь, чтобы найти экстремумы функции, нужно приравнять производную к нулю и найти значения $x$, при которых это условие выполняется. В данном случае, уравнение $2x=0$ будет иметь одно решение $x=0$.

Однако, нас интересует только промежуток $(0,2)$. Таким образом, исключим $x=0$ и рассмотрим только точки $x$, лежащие внутри данного промежутка. То есть, нам интересны значения функции $y$ в точке $x=1$ и $x=2$.

Подставим значения $x=1$ и $x=2$ в исходную функцию $y=x^2$. Получим:

$y=1^2=1$ при $x=1$

$y=2^2=4$ при $x=2$

Таким образом, минимальное значение функции $y=x^2$ на промежутке $(0,2)$ равно 1 и достигается в точке $x=1$, а максимальное значение равно 4 и достигается в точке $x=2$.

Мы использовали производную функции для определения точек экстремума и значения функции $y$ в этих точках. Проверим наш ответ, построив график функции $y=x^2$ на промежутке $(0,2)$:

$$\begin{array}{cc}x& y=x^2\\ 0.5& 0.25\\ 1& 1\\ 1.5& 2.25\\ 2& 4\end{array}$$

Как видно из графика, функция имеет минимум в точке $x=1$ и максимум в точке $x=2$, подтверждая наше решение.

Надеюсь, это пояснение помогло вам понять, как найти максимальное и минимальное значение функции $y=x^2$ на промежутке $(0,2)$. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.