Какое максимальное естественное число можно использовать для сокращения дроби (6n+7)/(8n+9), где n - целое число? Моля

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово. Мы хотим найти максимальное естественное число, которое можно использовать для сокращения дроби \(\frac{{6n+7}}{{8n+9}}\), где \(n\) - целое число.

1) Давайте для начала рассмотрим, что означает сокращение дроби. Дробь \(\frac{{6n+7}}{{8n+9}}\) сокращается, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, кроме 1. В таком случае, мы можем сократить общий делитель из числителя и знаменателя, чтобы получить более простую дробь.

2) Рассмотрим числитель \(6n+7\) и знаменатель \(8n+9\). Чтобы узнать, есть ли у них общий делитель, мы можем применить алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) этих двух выражений.

3) Применяем алгоритм Евклида:

\[
\begin{align*}
8n+9 & = (6n+7) \cdot 1 + (2n+2) \\
6n+7 & = (2n+2) \cdot 3 + 1
\end{align*}
\]

4) Мы получили остаток 1 во втором уравнении. Так как НОД - это последний ненулевой остаток в цепочке делений, мы имеем НОД \(1\).

5) Итак, у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме 1. Это означает, что дробь \(\frac{{6n+7}}{{8n+9}}\) не может быть сокращена для любого целого числа \(n\).

6) Таким образом, максимальное естественное число для сокращения этой дроби равно 1.

Надеюсь, эта пошаговая информация помогла вам понять, почему нет других естественных чисел для сокращения данной дроби. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать! Я всегда готов помочь вам.