Какое количество вариантов распределения 5 различных премий между 14 сотрудниками существует? Какую формулу нужно

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать комбинаторику и формулу для нахождения количества сочетаний.

Итак, у нас есть 5 премий, которые мы хотим распределить между 14 сотрудниками. При этом предполагается, что каждый сотрудник может получить только одну премию, и премии не повторяются.

Для нахождения количества вариантов распределения применим формулу сочетаний. Эта формула выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где:
- \(C(n, k)\) обозначает количество сочетаний из \(n\) элементов, из которых нужно выбрать \(k\) элементов.
- \(n!\) обозначает факториал числа \(n\), то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

В нашей задаче, у нас есть 14 сотрудников и 5 премий. Мы хотим узнать, сколько вариантов существует для распределения этих 5 премий. Таким образом, мы будем использовать формулу сочетаний с \(n=14\) и \(k=5\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[C(14, 5) = \frac{{14!}}{{5! \cdot (14-5)!}}\]

Раскроем факториалы в числителе и знаменателе:

\[C(14, 5) = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 9!}}\]

Заметим, что \(5!\) сократится в числителе и знаменателе:

\[C(14, 5) = \frac{{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{9!}}\]

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[C(14, 5) = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6\]

Вычислив это выражение, получаем:

\[C(14, 5) = 360,360\]

Таким образом, количество вариантов распределения 5 различных премий между 14 сотрудниками составляет 360,360.