Какое количество сторон есть у каждого из двух правильных многоугольников, если разница их центральных углов составляет

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первый правильный многоугольник имеет \(n\) сторон, а второй правильный многоугольник имеет \(m\) сторон. Так как оба многоугольника правильные, то у каждого из них сумма внутренних углов равна \(180 \times (n-2)\) градусов и \(180 \times (m-2)\) градусов соответственно.

Согласно условию, разница сумм внутренних углов равна 540 градусам, поэтому мы можем записать уравнение:

\[180 \cdot (n-2) - 180 \cdot (m-2) = 540\]

Упростим это уравнение:

\[180n - 180 \cdot 2 - 180m + 180 \cdot 2 = 540\]

\[180n - 180m = 540\]

Упростим ещё раз:

\[n - m = 3\]

Также известно, что разница их центральных углов составляет 20 градусов. Разница центральных углов равна разности количества сторон, поэтому:

\[|n - m| = 20\]

Учитывая оба уравнения, мы имеем систему:

\[\begin{cases}
n - m = 3\\
|n - m| = 20
\end{cases}\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Когда \(n - m = 3\). В этом случае возможны две ситуации: \(n = m + 3\) и \(n = m - 3\). Однако, мы должны выбрать только положительные значения для количества сторон. Поэтому, рассмотрим только \(n = m + 3\).

Подставим это значение во второе уравнение:

\(|(m + 3) - m| = 20\)

\(|3| = 20\)

Так как это уравнение не имеет решения, то этот случай не подходит.

2. Когда \(|n - m| = 20\). В этом случае возможны две ситуации: \(n - m = 20\) и \(m - n = 20\). Рассмотрим каждый случай по отдельности:

- При \(n - m = 20\): Если мы подставим это значение во второе уравнение, получим

\(|20| = 20\)

Так как это уравнение имеет решение, то этот случай подходит. Если мы рассмотрим все возможные положительные целые значения для \(n\) и \(m\), удовлетворяющие условию \(n - m = 20\), то можем сказать, что первый многоугольник имеет 22 стороны, а второй многоугольник имеет 2 стороны.

Таким образом, у первого многоугольника 22 стороны, а у второго многоугольника 2 стороны.