1. Найдите значение функции f(x)=2cos x при x=4π/3 и x=-π/4. 2. Постройте график функции y=cos(x+π/6) и определите

Хорошо! Давайте начнем с первой задачи.

1. Нам дана функция \(f(x) = 2\cos x\) и необходимо найти ее значение при \(x = \frac{4\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{4}\).

Для начала, давайте найдем значение функции при \(x = \frac{4\pi}{3}\):
\[f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\]

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся таблицей значений функции косинуса. В таблице мы можем найти значение косинуса для угла \(4\pi/3\), которое равно \(-\frac{1}{2}\). Теперь, подставив это значение в выражение, получим:
\[f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1\]

Таким образом, \(f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -1\).

Теперь давайте найдем значение функции при \(x = -\frac{\pi}{4}\):
\[f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\]

Опять же, воспользуемся таблицей значений функции косинуса. В таблице мы можем найти значение косинуса для угла \(-\pi/4\), которое также равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Подставив это значение в выражение, получим:
\[f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\]

Таким образом, \(f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\).

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Нам дана функция \(y = \cos(x + \frac{\pi}{6})\) и нужно построить ее график, а затем определить интервалы возрастания и убывания функции, корни функции, а также максимальное и минимальное значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\).

Для построения графика функции y = cos(x + \frac{\pi}{6}), мы можем использовать основные свойства функции косинуса. Начнем с того, что мы знаем, что функция косинуса имеет период \(2\pi\) и основной период \(2\pi\) равен \((0, 2\pi)\). Учитывая смещение внутри скобок, мы можем сделать следующие наблюдения:

- Функция y = cos(x + \frac{\pi}{6}) имеет график, который смещен влево на \(\frac{\pi}{6}\) единиц, поэтому мы сдвигаем точку \(x = 0\) в точку \(-\frac{\pi}{6}\).
- Далее, полупериод для функции y = cos(x + \frac{\pi}{6}) равен \(\pi\).
- В итоге, мы можем просто создать график функции cos(x) на интервале [-\(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{3}\)] и сдвинуть его влево на \(\frac{\pi}{6}\).

Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции. Функция y = cos(x + \(\frac{\pi}{6}\)) имеет такие интервалы возрастания и убывания:

- Интервал возрастания: \(\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n\right], \left[\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + \pi + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}\).
- Интервал убывания: \(\left[-\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right], \left[\frac{3\pi}{2} + \pi + 2\pi n, \frac{5\pi}{2} + 2\pi n\right], n \in \mathbb{Z}\).

Теперь найдем корни функции y = cos(x + \(\frac{\pi}{6}\)). Корни функции y = cos(x + \(\frac{\pi}{6}\)) могут быть найдены, когда значение функции равно нулю:
\[\cos(x + \frac{\pi}{6}) = 0\]

Запишем уравнение в виде:
\[x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi n, x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + \pi n\]

Решая эти уравнения, получим следующие значения:

- \(x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} - \pi n\), для интервалов возрастания.
- \(x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3} - \pi n\), для интервалов убывания.

Наконец, найдем максимальное и минимальное значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\). Мы можем использовать свойства функции косинуса для этого.

Максимальное значение функции y = cos(x + \(\frac{\pi}{6}\)) на отрезке \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\) равно 1 и достигается при \(x = -\frac{\pi}{6}\).

Минимальное значение функции y = cos(x + \(\frac{\pi}{6}\)) на отрезке \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\) равно \(\frac{1}{2}\) и достигается при \(x = \frac{\pi}{3}\).

Определены интервалы возрастания и убывания функции, корни функции, а также максимальное и минимальное значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]\). Теперь мы можем построить график функции y = cos(x + \(\frac{\pi}{6}\)) на соответствующем интервале для наглядного представления.