1. Найдите значение функции f(x)=2cos x при x=4π/3 и x=-π/4. 2. Постройте график функции y=cos(x+π/6) и определите

Хорошо! Давайте начнем с первой задачи.

1. Нам дана функция $f(x)=2\cos x$ и необходимо найти ее значение при $x=\frac{4\pi }{3}$ и $x=-\frac{\pi }{4}$.

Для начала, давайте найдем значение функции при $x=\frac{4\pi }{3}$:
$$f\left(\frac{4\pi }{3}\right)=2\cos \left(\frac{4\pi }{3}\right)$$

Чтобы найти значение этого выражения, воспользуемся таблицей значений функции косинуса. В таблице мы можем найти значение косинуса для угла $4\pi /3$, которое равно $-\frac{1}{2}$. Теперь, подставив это значение в выражение, получим:
$$f\left(\frac{4\pi }{3}\right)=2\cdot (-\frac{1}{2})=-1$$

Таким образом, $f\left(\frac{4\pi }{3}\right)=-1$.

Теперь давайте найдем значение функции при $x=-\frac{\pi }{4}$:
$$f(-\frac{\pi }{4})=2\cos (-\frac{\pi }{4})$$

Опять же, воспользуемся таблицей значений функции косинуса. В таблице мы можем найти значение косинуса для угла $-\pi /4$, которое также равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставив это значение в выражение, получим:
$$f(-\frac{\pi }{4})=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$

Таким образом, $f(-\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}$.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2. Нам дана функция $y=\cos (x+\frac{\pi }{6})$ и нужно построить ее график, а затем определить интервалы возрастания и убывания функции, корни функции, а также максимальное и минимальное значение функции на отрезке $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$.

Для построения графика функции y = cos(x + \frac{\pi}{6}), мы можем использовать основные свойства функции косинуса. Начнем с того, что мы знаем, что функция косинуса имеет период $2\pi$ и основной период $2\pi$ равен $(0,2\pi )$. Учитывая смещение внутри скобок, мы можем сделать следующие наблюдения:

- Функция y = cos(x + \frac{\pi}{6}) имеет график, который смещен влево на $\frac{\pi }{6}$ единиц, поэтому мы сдвигаем точку $x=0$ в точку $-\frac{\pi }{6}$.
- Далее, полупериод для функции y = cos(x + \frac{\pi}{6}) равен $\pi$.
- В итоге, мы можем просто создать график функции cos(x) на интервале [-$\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$] и сдвинуть его влево на $\frac{\pi }{6}$.

Теперь определим интервалы возрастания и убывания функции. Функция y = cos(x + $\frac{\pi }{6}$) имеет такие интервалы возрастания и убывания:

- Интервал возрастания: $[-\frac{\pi }{2}+2\pi n,-\frac{\pi }{2}+\pi +2\pi n],[\frac{3\pi }{2}+2\pi n,\frac{3\pi }{2}+\pi +2\pi n],n\in \mathbb{Z}$.
- Интервал убывания: $[-\frac{\pi }{2}+\pi +2\pi n,\frac{\pi }{2}+2\pi n],[\frac{3\pi }{2}+\pi +2\pi n,\frac{5\pi }{2}+2\pi n],n\in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем корни функции y = cos(x + $\frac{\pi }{6}$). Корни функции y = cos(x + $\frac{\pi }{6}$) могут быть найдены, когда значение функции равно нулю:
$$\cos (x+\frac{\pi }{6})=0$$

Запишем уравнение в виде:
$$x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+\pi n,x+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}+\pi n$$

Решая эти уравнения, получим следующие значения:

- $x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}-\pi n$, для интервалов возрастания.
- $x=\frac{3\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{3}-\pi n$, для интервалов убывания.

Наконец, найдем максимальное и минимальное значение функции на отрезке $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$. Мы можем использовать свойства функции косинуса для этого.

Максимальное значение функции y = cos(x + $\frac{\pi }{6}$) на отрезке $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$ равно 1 и достигается при $x=-\frac{\pi }{6}$.

Минимальное значение функции y = cos(x + $\frac{\pi }{6}$) на отрезке $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$ равно $\frac{1}{2}$ и достигается при $x=\frac{\pi }{3}$.

Определены интервалы возрастания и убывания функции, корни функции, а также максимальное и минимальное значение функции на отрезке $[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}]$. Теперь мы можем построить график функции y = cos(x + $\frac{\pi }{6}$) на соответствующем интервале для наглядного представления.