Какое фокусное расстояние объектива проекционного аппарата, если на экране, расположенном на расстоянии 4

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать оптическую формулу, связывающую фокусное расстояние объектива проекционного аппарата с размерами изображения на экране и размерами диапозитива.

Формула, которую мы будем использовать: \(\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{o}\), где \(f\) - фокусное расстояние объектива, \(g\) - расстояние от объектива до изображения на экране, \(o\) - расстояние от объектива до диапозитива.

Дано:
Расстояние от аппарата до экрана (\(g\)) = 4 м
Размеры изображения на экране - 2 м (высота) и 2 м (ширина)
Размеры диапозитива - 8 см (высота) и 8 см (ширина)

Теперь рассмотрим размеры изображения на экране. Для определения фокусного расстояния объектива, мы должны знать соотношение между размерами диапозитива и размерами изображения на экране. Мы можем предположить, что размеры диапозитива пропорциональны размерам изображения на экране. Поэтому мы можем записать следующее уравнение:
\(\frac{h_{диапозитива}}{w_{диапозитива}} = \frac{h_{изображения}}{w_{изображения}}\), где \(h\) - высота, \(w\) - ширина.

Подставляя значения из условия, получаем:
\(\frac{8}{8} = \frac{2}{2}\)

Уравнение становится:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{o}\)

Теперь нам нужно найти значение переменной \(o\).
Мы можем использовать пропорцию, связывающую размеры изображения на экране с расстоянием от объектива до изображения на экране:
\(\frac{h_{изображения}}{g} = \frac{h_{диапозитива}}{o}\)

Подставляя значения из условия, получаем:
\(\frac{2}{4} = \frac{8}{o}\)

Упрощаем уравнения фокусного расстояния и расстояния от объектива до изображения на экране:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{o}\) (уравнение 1)
\(\frac{1}{2} = \frac{8}{o}\) (уравнение 2)

Теперь мы можем решить уравнение 2 относительно \(o\):
\(\frac{1}{2} = \frac{8}{o}\)
Умножаем обе стороны на \(o\):
\(o = \frac{8}{\frac{1}{2}}\)
Вычисляем обратную величину к дроби:
\(o = \frac{8}{\frac{1}{2}} = 16\)

Теперь, подставляя значение \(o\) в уравнение 1, можно найти фокусное расстояние объектива:
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16}\)

Для удобства мы можем привести дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{f} = \frac{4}{16} + \frac{1}{16}\)
\(\frac{1}{f} = \frac{5}{16}\)

Теперь найдем обратную величину к \(f\):
\(f = \frac{16}{5}\)

Ответ: фокусное расстояние объектива проекционного аппарата составляет \(\frac{16}{5}\), что приближенно равно 0.16 (до второго знака после запятой).