Какое двузначное число х нужно вписать между его цифрами, чтобы получить четырёхзначное число, которое будет в

Давайте разберем эту задачу шаг за шагом:

Пусть исходное двузначное число будет записано в виде \( ab \), где \( a \) и \( b \) - цифры в числе. Нам нужно вписать между этими цифрами число \( x \), чтобы получить четырехзначное число.

Согласно условию задачи, полученное четырехзначное число должно быть в 66 раз больше исходного двузначного числа. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[ 1000a + 100x + 10b = 66 \cdot (10a + b) \]

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ 1000a + 100x + 10b = 660a + 66b \]

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

\[ 1000a - 660a + 100x - 66b = 0 \]

\[ 340a + 100x - 66b = 0 \qquad (1) \]

Мы имеем уравнение с тремя неизвестными: \( a \), \( x \) и \( b \). Чтобы найти решение, нам нужны еще уравнения.

Условие задачи утверждает, что мы должны получить четырехзначное число. Это означает, что первая цифра не может быть нулем. Поэтому у нас есть условие \( a \neq 0 \).

Другое условие задачи - мы должны получить число, 66 раз большее исходного двузначного числа. Это может быть записано как:

\[ 10a + b = 66 \cdot (\text{число } x) \qquad (2) \]

У нас есть два уравнения (1) и (2), и нам нужно найти значения \( a \), \( x \) и \( b \), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Давайте решим систему уравнений методом подстановки.

Из уравнения (2) мы можем выразить \( b \) через \( a \) и \( x \):

\[ b = 66x - 10a \]

Теперь, подставив это выражение для \( b \) в уравнение (1), получим:

\[ 340a + 100x - 66(66x - 10a) = 0 \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ 340a + 100x - 4356x + 660a = 0 \]

\[ 1000a - 4256x = 0 \]

\[ 250a - 1064x = 0 \qquad (3) \]

У нас есть новое уравнение (3), в котором присутствуют только \( a \) и \( x \). Давайте найдем значения \( a \) и \( x \), удовлетворяющие этому уравнению.

Если мы решим уравнение (3), мы получим:

\[ 250a = 1064x \]

\[ \frac{a}{x} = \frac{1064}{250} \]

\[ \frac{a}{x} = \frac{266}{62.5} \]

Заметим, что \(\frac{266}{62.5}\) - несократимая дробь. Поэтому, чтобы \( \frac{a}{x} \) было целым числом, \( a \) должно быть кратно 266, а \( x \) должно быть кратно 62.5.

Учитывая, что \( a \) и \( x \) должны быть цифрами, а не десятичными дробями, мы можем найти значения \( a \) и \( x \), которые удовлетворяют условиям задачи.