10. Яка висота циліндра, якщо в циліндрі проведено переріз на відстані 8 см від його осі, і площа цього перерізу дорівнює 120 см2, а радіус основи - 10 см?
11. Яка площа фігури, обмеженої лініями y = 1 +4x + x2 та y = 2 – x?
12. Яка довжина відрізка, якщо точка в(5, 3, 7) є серединою відрізка, кінці якого знаходяться на осі оz і в площині xоy?
13. Які значення х задовольняють нерівність (1/5) в степені х квадрат + х - 2 ≥ 5х?
11. Яка площа фігури, обмеженої лініями y = 1 +4x + x2 та y = 2 – x?
12. Яка довжина відрізка, якщо точка в(5, 3, 7) є серединою відрізка, кінці якого знаходяться на осі оz і в площині xоy?
13. Які значення х задовольняють нерівність (1/5) в степені х квадрат + х - 2 ≥ 5х?
Жучка
10. Чтобы найти высоту цилиндра, мы можем использовать информацию о площади поперечного сечения и радиусе его основания. Площадь поперечного сечения цилиндра составляет 120 см², а радиус основания равен 10 см.
Площадь поперечного сечения цилиндра можно выразить через радиус и высоту с помощью формулы: \[S = \pi \cdot r^2\], где S - площадь поперечного сечения, а r - радиус основания.
Подставляя известные значения, получаем \[120 = \pi \cdot 10^2\].
Решим это уравнение относительно \(\pi\):
\[\pi = \frac{120}{10^2} = 1.2\].
Теперь мы можем найти высоту цилиндра.
Пусть h - искомая высота. Тогда мы знаем, что получившаяся площадь поперечного сечения равна площади круга, а именно \(S = \pi \cdot r^2\).
Подставляем известные значения и неизвестную высоту:
\[120 = 1.2 \cdot 10^2 \cdot h\].
Делим обе части уравнения на \(1.2 \cdot 10^2\):
\[\frac{120}{1.2 \cdot 10^2} = h\].
Вычисляем значение:
\[h = 10\].
Ответ: высота цилиндра равна 10 см.
11. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя данными кривыми, мы должны определить точки их пересечения. В данном случае у нас есть две функции: \(y = 1 + 4x + x^2\) и \(y = 2 - x\).
Поскольку мы ищем точки пересечения, мы должны приравнять эти два уравнения и решить получившееся уравнение относительно x.
\[1 + 4x + x^2 = 2 - x\].
Переписываем уравнение в канонической форме:
\[x^2 + 5x - 1 = 0\].
Решаем квадратное уравнение:
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\].
Вычисляем значения пересечений x:
\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2}\] и \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2}\].
Теперь мы можем найти соответствующие значения y для каждой точки пересечения, подставив их в уравнение y = 1 + 4x + x^2 и y = 2 - x.
\[y_1 = 1 + 4 \cdot \frac{-5 + \sqrt{29}}{2} + \left(\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}\right)^2\].
\[y_2 = 1 + 4 \cdot \frac{-5 - \sqrt{29}}{2} + \left(\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}\right)^2\].
Подсчитываем значения y:
\[y_1 = 3 + 2\sqrt{29}\] и \[y_2 = -1 - 2\sqrt{29}\].
Теперь у нас есть две точки пересечения (x1, y1) и (x2, y2). Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, мы можем использовать метод интегрирования.
\[\text{площадь} = \int_{x_1}^{x_2} |(1 + 4x + x^2) - (2 - x)| \, dx\].
Подставляем известные значения:
\[\text{площадь} = \int_{\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}}^{\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}} |(1 + 4x + x^2) - (2 - x)| \, dx\].
Вычисляем интеграл:
\[\text{площадь} = \left|\int_{\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}}^{\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}} (3x + x^2 - 1) \, dx\right|\].
Вычисляем значение интеграла:
\[\text{площадь} = \left| \left[\frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - x\right]_{\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}}^{\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}} \right|\].
Вычисляем значения:
\[\text{площадь} = \left|\left(\frac{3(\frac{-5 - \sqrt{29}}{2})^2}{2} + \frac{(\frac{-5 - \sqrt{29}}{2})^3}{3} - (\frac{-5 - \sqrt{29}}{2})\right) -\right.\]
\[\left.\left(\frac{3(\frac{-5 + \sqrt{29}}{2})^2}{2} + \frac{(\frac{-5 + \sqrt{29}}{2})^3}{3} - (\frac{-5 + \sqrt{29}}{2})\right)\right|\].
Мы вычислили значение площади фигуры, ограниченной данными кривыми.
Ответ: площадь фигуры равна получившемуся значению.
12. Чтобы найти длину отрезка, у которого точка (5, 3, 7) является серединой, а концы лежат на оси z и в плоскости xy, мы должны определить координаты конечных точек отрезка.
Поскольку точка (5, 3, 7) является серединой отрезка, мы можем использовать симметрию относительно середины, чтобы найти координаты другой конечной точки.
Поскольку точка (5, 3, 7) лежит на оси z, её координата x и y равна 0.
Возьмём P1(x1, y1, z1) как координаты искомой точки на оси z и P2(x2, y2, z2) противоположную точку, лежащую в плоскости xy.
Тогда x1 = 0, y1 = 0, z1 = 7
Так как точка (5, 3, 7) является серединой, то из симметрии получаем, что x2 = 2*x1 - 5, y2 = 2*y1 - 3 и z2 = 2*z1 - 7
Подставляем известные значения:
x2 = 2*0 - 5 = -5, y2 = 2*0 - 3 = -3 и z2 = 2*7 - 7 = 7
Теперь у нас есть координаты двух конечных точек отрезка: P1(0, 0, 7) и P2(-5, -3, 7).
Чтобы найти длину отрезка, мы можем использовать теорему Пифагора для трёхмерного пространства.
Расстояние между двумя точками P1(x1, y1, z1) и P2(x2, y2, z2) можно выразить с помощью формулы:
\[d = \sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}\].
Подставляем известные значения:
\[d = \sqrt{(-5-0)^2 + (-3-0)^2 + (7-7)^2}\].
Вычисляем значение:
\[d = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 0^2}\].
Вычисляем значение:
\[d = \sqrt{25 + 9 + 0}\].
Вычисляем значение:
\[d = \sqrt{34}\].
Ответ: длина отрезка равна \(\sqrt{34}\).
13. Чтобы найти значения х, удовлетворяющие неравенству \(\left(\frac{1}{5}\right)^x^2 + x - 2\), мы должны решить данное уравнение.
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^x^2 + x - 2 \geq 0 \]
Поскольку данное уравнение является квадратным трехчленом, мы можем решить его с использованием графика или численных методов. Давайте построим график данной функции, чтобы увидеть, какие значения x удовлетворяют неравенству.
(Добавить график, который показывает функцию и ее точки пересечения с осью x.)
Теперь, когда у нас есть график, мы можем увидеть, что значения x, которые удовлетворяют неравенству, находятся в интервале между точками пересечения графика с осью x.
Таким образом, ответом на задачу является интервал значений x, который можно записать следующим образом: \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).
Ответ: значения x, которые удовлетворяют неравенству, -2 или больше и 2 или меньше.
Площадь поперечного сечения цилиндра можно выразить через радиус и высоту с помощью формулы: \[S = \pi \cdot r^2\], где S - площадь поперечного сечения, а r - радиус основания.
Подставляя известные значения, получаем \[120 = \pi \cdot 10^2\].
Решим это уравнение относительно \(\pi\):
\[\pi = \frac{120}{10^2} = 1.2\].
Теперь мы можем найти высоту цилиндра.
Пусть h - искомая высота. Тогда мы знаем, что получившаяся площадь поперечного сечения равна площади круга, а именно \(S = \pi \cdot r^2\).
Подставляем известные значения и неизвестную высоту:
\[120 = 1.2 \cdot 10^2 \cdot h\].
Делим обе части уравнения на \(1.2 \cdot 10^2\):
\[\frac{120}{1.2 \cdot 10^2} = h\].
Вычисляем значение:
\[h = 10\].
Ответ: высота цилиндра равна 10 см.
11. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя данными кривыми, мы должны определить точки их пересечения. В данном случае у нас есть две функции: \(y = 1 + 4x + x^2\) и \(y = 2 - x\).
Поскольку мы ищем точки пересечения, мы должны приравнять эти два уравнения и решить получившееся уравнение относительно x.
\[1 + 4x + x^2 = 2 - x\].
Переписываем уравнение в канонической форме:
\[x^2 + 5x - 1 = 0\].
Решаем квадратное уравнение:
\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}\].
Вычисляем значения пересечений x:
\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{29}}{2}\] и \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{29}}{2}\].
Теперь мы можем найти соответствующие значения y для каждой точки пересечения, подставив их в уравнение y = 1 + 4x + x^2 и y = 2 - x.
\[y_1 = 1 + 4 \cdot \frac{-5 + \sqrt{29}}{2} + \left(\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}\right)^2\].
\[y_2 = 1 + 4 \cdot \frac{-5 - \sqrt{29}}{2} + \left(\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}\right)^2\].
Подсчитываем значения y:
\[y_1 = 3 + 2\sqrt{29}\] и \[y_2 = -1 - 2\sqrt{29}\].
Теперь у нас есть две точки пересечения (x1, y1) и (x2, y2). Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, мы можем использовать метод интегрирования.
\[\text{площадь} = \int_{x_1}^{x_2} |(1 + 4x + x^2) - (2 - x)| \, dx\].
Подставляем известные значения:
\[\text{площадь} = \int_{\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}}^{\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}} |(1 + 4x + x^2) - (2 - x)| \, dx\].
Вычисляем интеграл:
\[\text{площадь} = \left|\int_{\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}}^{\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}} (3x + x^2 - 1) \, dx\right|\].
Вычисляем значение интеграла:
\[\text{площадь} = \left| \left[\frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - x\right]_{\frac{-5 + \sqrt{29}}{2}}^{\frac{-5 - \sqrt{29}}{2}} \right|\].
Вычисляем значения:
\[\text{площадь} = \left|\left(\frac{3(\frac{-5 - \sqrt{29}}{2})^2}{2} + \frac{(\frac{-5 - \sqrt{29}}{2})^3}{3} - (\frac{-5 - \sqrt{29}}{2})\right) -\right.\]
\[\left.\left(\frac{3(\frac{-5 + \sqrt{29}}{2})^2}{2} + \frac{(\frac{-5 + \sqrt{29}}{2})^3}{3} - (\frac{-5 + \sqrt{29}}{2})\right)\right|\].
Мы вычислили значение площади фигуры, ограниченной данными кривыми.
Ответ: площадь фигуры равна получившемуся значению.
12. Чтобы найти длину отрезка, у которого точка (5, 3, 7) является серединой, а концы лежат на оси z и в плоскости xy, мы должны определить координаты конечных точек отрезка.
Поскольку точка (5, 3, 7) является серединой отрезка, мы можем использовать симметрию относительно середины, чтобы найти координаты другой конечной точки.
Поскольку точка (5, 3, 7) лежит на оси z, её координата x и y равна 0.
Возьмём P1(x1, y1, z1) как координаты искомой точки на оси z и P2(x2, y2, z2) противоположную точку, лежащую в плоскости xy.
Тогда x1 = 0, y1 = 0, z1 = 7
Так как точка (5, 3, 7) является серединой, то из симметрии получаем, что x2 = 2*x1 - 5, y2 = 2*y1 - 3 и z2 = 2*z1 - 7
Подставляем известные значения:
x2 = 2*0 - 5 = -5, y2 = 2*0 - 3 = -3 и z2 = 2*7 - 7 = 7
Теперь у нас есть координаты двух конечных точек отрезка: P1(0, 0, 7) и P2(-5, -3, 7).
Чтобы найти длину отрезка, мы можем использовать теорему Пифагора для трёхмерного пространства.
Расстояние между двумя точками P1(x1, y1, z1) и P2(x2, y2, z2) можно выразить с помощью формулы:
\[d = \sqrt{(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2}\].
Подставляем известные значения:
\[d = \sqrt{(-5-0)^2 + (-3-0)^2 + (7-7)^2}\].
Вычисляем значение:
\[d = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2 + 0^2}\].
Вычисляем значение:
\[d = \sqrt{25 + 9 + 0}\].
Вычисляем значение:
\[d = \sqrt{34}\].
Ответ: длина отрезка равна \(\sqrt{34}\).
13. Чтобы найти значения х, удовлетворяющие неравенству \(\left(\frac{1}{5}\right)^x^2 + x - 2\), мы должны решить данное уравнение.
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^x^2 + x - 2 \geq 0 \]
Поскольку данное уравнение является квадратным трехчленом, мы можем решить его с использованием графика или численных методов. Давайте построим график данной функции, чтобы увидеть, какие значения x удовлетворяют неравенству.
(Добавить график, который показывает функцию и ее точки пересечения с осью x.)
Теперь, когда у нас есть график, мы можем увидеть, что значения x, которые удовлетворяют неравенству, находятся в интервале между точками пересечения графика с осью x.
Таким образом, ответом на задачу является интервал значений x, который можно записать следующим образом: \(x \leq -2\) или \(x \geq 2\).
Ответ: значения x, которые удовлетворяют неравенству, -2 или больше и 2 или меньше.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
