Какое дифференциальное уравнение связывает функции y и x, если производная функции y по x, деленная на x, плюс

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о дифференциальных уравнениях и их методах решения.

Первым шагом составим дифференциальное уравнение, используя информацию из условия задачи.

У нас есть следующее условие:
\(\frac{{dy}}{{dx}} \cdot \frac{1}{x} + e^y = 0\)

Теперь давайте рассмотрим каждое слагаемое этого уравнения.

Первое слагаемое \(\frac{{dy}}{{dx}} \cdot \frac{1}{x}\) представляет собой производную функции \(y\) по \(x\), деленную на \(x\). В математике это обозначается как \(\frac{{dy}}{{dx}} \cdot \frac{1}{x}\) или \(\frac{{1}{x} \cdot dy}{dx}\).

Второе слагаемое \(e^y\) представляет экспоненту \(e\) (число Эйлера) в степени \(y\).

Нам известно, что это уравнение равно нулю.

Теперь мы можем записать дифференциальное уравнение:

\(\frac{{1}{x} \cdot dy}{dx} + e^y = 0\)

Для решения этого уравнения нам понадобятся методы решения дифференциальных уравнений. Существуют различные методы, но в данном случае мы воспользуемся разделением переменных.

Перенесем слагаемое \(e^y\) на другую сторону уравнения, получим:

\(-e^y = \frac{{1}{x} \cdot dy}{dx}\)

Теперь разделим обе части уравнения на \(-e^y\), чтобы выразить производную \(y\) по \(x\) через \(y\) и \(x\):

\(\frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{e^y}}{{x}}\)

Теперь наше уравнение приняло вид:

\(\frac{{dy}}{{dx}} = - \frac{{e^y}}{{x}}\)

Это дифференциальное уравнение связывает функции \(y\) и \(x\) и является решением данной задачи.

Обратите внимание, что в решении мы использовали метод разделения переменных, чтобы выразить производную \(y\) по \(x\).