Какое давление установится в объёмах после установления теплового равновесия, если изначально газ имел температуру

Для решения задачи, нам понадобится применить закон Шарля, который описывает взаимосвязь между объемом и температурой газа при постоянном давлении. Закон Шарля утверждает, что объем газа пропорционален его температуре при постоянном давлении.

Формула закона Шарля выглядит следующим образом:

\[\frac{{V_1}}{{T_1}} = \frac{{V_2}}{{T_2}}\]

где \(V_1\) и \(V_2\) - исходный и итоговый объемы соответственно, \(T_1\) и \(T_2\) - исходная и итоговая температуры соответственно.

Изначально у нас имеется газ со значениями температуры \(T_1 = 300 \, K\) и давления \(p_1 = 10^5 \, Па\). Малый объем нагрели на 300 К, а большой объем на неизвестное количество Кельвин.

Мы можем обозначить температуры и объемы после установления теплового равновесия как \(T_m\) и \(T_b\) для малого и большого объемов соответственно, и \(V_m\) и \(V_b\) для малого и большого объемов соответственно.

С учетом данной информации, мы можем записать два уравнения, используя закон Шарля:

\[\frac{{V_m}}{{T_{1m}}} = \frac{{V_{1m}}}{{T_m}}\] - для малого объема
\[\frac{{V_b}}{{T_{1b}}} = \frac{{V_{1b}}}{{T_b}}\] - для большого объема

Где \(T_{1m} = 300 \, K\) и \(T_{1b} = 300 \, K\) - исходные значения температур исходно-малого и исходно-большого объемов соответственно. \(V_{1m}\) и \(V_{1b}\) - исходные значения объемов соответственно.

У нас есть еще одно дополнительное условие. После установления теплового равновесия, давление остается неизменным, так как задача говорит, что объемы нагреваются при постоянном давлении. Давление можно обозначить как \(p_m\) и \(p_b\) для малого и большого объемов соответственно.

Используя исходные значения давления и давление после установления теплового равновесия, мы получаем следующее:

\(p_m = 10^5 \, Па\) - давление малого объема
\(p_b = 10^5 \, Па\) - давление большого объема

Так как давление остается неизменным, мы можем записать уравнения для давления:

\(p_m = 10^5 \, Па = \frac{{n_m R T_m}}{{V_{1m}}}\) - для малого объема
\(p_b = 10^5 \, Па = \frac{{n_b R T_b}}{{V_{1b}}}\) - для большого объема

Где \(n_m\) и \(n_b\) - количество вещества для малого и большого объемов соответственно, а \(R\) - универсальная газовая постоянная.

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из уравнений Шарля и уравнений для давления:

\[\frac{{V_m}}{{T_{1m}}} = \frac{{V_{1m}}}{{T_m}}\]
\[\frac{{V_b}}{{T_{1b}}} = \frac{{V_{1b}}}{{T_b}}\]

\(p_m = 10^5 \, Па = \frac{{n_m R T_m}}{{V_{1m}}}\)
\(p_b = 10^5 \, Па = \frac{{n_b R T_b}}{{V_{1b}}}\)

Для решения системы уравнений, мы можем применить метод подстановки. Сначала можем найти \(n_m\) и \(n_b\) из уравнений для давления:

\(n_m = \frac{{p_m V_{1m}}}{{R T_m}}\) - для малого объема
\(n_b = \frac{{p_b V_{1b}}}{{R T_b}}\) - для большого объема

Подставляем значения \(n_m\) и \(n_b\) в уравнения Шарля:

\[\frac{{V_m}}{{T_{1m}}} = \frac{{V_{1m}}}{{T_m}}\]
\[\frac{{V_b}}{{T_{1b}}} = \frac{{V_{1b}}}{{T_b}}\]

После этого мы можем выразить \(V_m\) через \(V_{1m}\) и \(T_m\), а \(V_b\) через \(V_{1b}\) и \(T_b\):

\[V_m = \frac{{V_{1m} \cdot T_{1m}}}{{T_m}}\]
\[V_b = \frac{{V_{1b} \cdot T_{1b}}}{{T_b}}\]

Теперь, когда у нас есть значения \(V_m\) и \(V_b\), мы можем найти давление после установления теплового равновесия:

\(p_m = \frac{{n_m R T_m}}{{V_m}}\) - для малого объема
\(p_b = \frac{{n_b R T_b}}{{V_b}}\) - для большого объема

Подставляем значения \(V_m\) и \(V_b\):

\(p_m = \frac{{n_m R T_m}}{{\frac{{V_{1m} \cdot T_{1m}}}{{T_m}}}}\)
\(p_b = \frac{{n_b R T_b}}{{\frac{{V_{1b} \cdot T_{1b}}}{{T_b}}}}\)

Избавляемся от дробей:

\(p_m = \frac{{n_m R T_m \cdot T_m}}{{V_{1m} \cdot T_{1m}}}\)
\(p_b = \frac{{n_b R T_b \cdot T_b}}{{V_{1b} \cdot T_{1b}}}\)

Мы можем записать эти выражения с учетом значений \(n_m\) и \(n_b\):

\(p_m = \frac{{\frac{{p_m V_{1m}}}{{R T_m}} \cdot R T_m \cdot T_m}}{{V_{1m} \cdot T_{1m}}}\)
\(p_b = \frac{{\frac{{p_b V_{1b}}}{{R T_b}} \cdot R T_b \cdot T_b}}{{V_{1b} \cdot T_{1b}}}\)

Мы можем упростить эти выражения:

\(p_m = \frac{{p_m \cdot V_{1m} \cdot T_m}}{{V_{1m} \cdot T_{1m}}}\)
\(p_b = \frac{{p_b \cdot V_{1b} \cdot T_b}}{{V_{1b} \cdot T_{1b}}}\)

Теперь у нас есть выражения для давления после установления теплового равновесия:

\(p_m = \frac{{p_m \cdot T_m}}{{T_{1m}}}\)
\(p_b = \frac{{p_b \cdot T_b}}{{T_{1b}}}\)

Очевидно, что значения давления \(p_m\) и \(p_b\) остаются постоянными. Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что давление в обоих объемах останется неизменным после установления теплового равновесия.