Какое число выбралось, если мысленно прибавить 1 к третьему числу, прибавить 1/4 к этому числу и умножить их друг

Давайте решим данную задачу. Пусть выбранное число обозначается как \( x \).

Первый шаг: мысленно прибавляем 1 к третьему числу. Третье число это \( x \), поэтому после прибавления 1 получим \( x + 1 \).

Второй шаг: прибавляем 1/4 к числу \( x + 1 \). После сложения получаем выражение \( x + 1 + \frac{1}{4} \).

Третий шаг: умножаем эти два числа друг на друга. Мы получаем выражение \( (x+1) \cdot \left(x + \frac{1}{4}\right) \).

Чтобы продолжить решение, раскроем скобки, перемножив каждый элемент первого выражения на все элементы второго выражения:

\[ (x+1) \cdot \left(x + \frac{1}{4}\right) = x \cdot x + x \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot x + 1 \cdot \frac{1}{4} \]

Упростив это выражение, получим:

\[ x^2 + \frac{x}{4} + x + \frac{1}{4} \]

Объединим подобные члены:

\[ x^2 + \left(\frac{1}{4} + x\right) + \frac{1}{4} \]

Нам дано, что результат равен 9. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{1}{4} + x\right) + \frac{1}{4} = 9 \]

Теперь решим это уравнение:

\[ x^2 + \frac{1}{4} + x + \frac{1}{4} = 9 \]

\[ x^2 + x + \frac{1}{2} = 9 \]

\[ x^2 + x = 9 - \frac{1}{2} \]

\[ x^2 + x = \frac{17}{2} \]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае, параметры a, b и c равны:

\[ a = 1, \quad b = 1, \quad c = -\frac{17}{2} \]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{17}{2}\right)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 34}}{2} \]

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{35}}{2} \]

Таким образом, получаем два значения для числа \( x \):

\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{35}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-1 - \sqrt{35}}{2} \]

Оба числа \( x_1 \) и \( x_2 \) являются возможными решениями задачи.