Какое число Петя написал после первого шага, если известно, что он впервые написал ноль после восьмого шага, и каждый

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. В начале Петя написал некое число (какое именно, мы не знаем).
2. Затем он выполнил первый шаг, который состоит в следующих действиях:
- Посчитал сумму цифр числа, которое он написал на предыдущем шаге.
- Вычел полученную сумму из числа, которое было на предыдущем шаге.
- Записал полученное значение.
3. Мы знаем, что Петя впервые написал ноль после восьмого шага.

Давайте воссоздадим шаги Пети и выясним, какое число он написал после первого шага.

Предположим, что Петя начал с числа \(N\). После первого шага он получит новое число, которое мы обозначим как \(N_1\).

Как он получает \(N_1\)? Он сначала вычисляет сумму цифр числа \(N\), а затем вычитает эту сумму из числа \(N\).

Представим число \(N\) в виде суммы его цифр: \(N = d_1 + d_2 + \ldots + d_k\), где \(d_1, d_2, \ldots, d_k\) - цифры числа \(N\).

Тогда сумма цифр числа \(N\) равна \(d_1 + d_2 + \ldots + d_k\).

После вычитания суммы цифр из числа \(N\) Петя получит новое число:
\[N_1 = N - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k)\]

Теперь у нас есть уравнение для \(N_1\).

Мы также знаем, что Петя впервые написал ноль после восьмого шага. Это означает, что после седьмого шага он не получил ноль, но после восьмого шага получил. Или, иначе говоря, \(N_1\) не равно нулю после седьмого шага, но равно нулю после восьмого шага.

Теперь у нас есть два условия:
- \(N_1\) не равно нулю после седьмого шага,
- \(N_1\) равно нулю после восьмого шага.

Мы можем использовать эти два условия, чтобы выразить \(N\) и найти число, с которого Петя начал.

Подставим \(N_1\) в первое условие:
\[N_1 \neq 0 \text{ после седьмого шага}\]

Подставим \(N_1\) во второе условие:
\[N_1 = 0 \text{ после восьмого шага}\]

Теперь у нас есть система уравнений. Решим ее, чтобы найти \(N\).

Таким образом, мы можем записать:
\[N - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k) \neq 0 \quad \text{(условие 1)}\]
\[N - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k) = 0 \quad \text{(условие 2)}\]

Вычтем уравнение условия 2 из уравнения условия 1:
\[(N - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k)) - (N - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k)) = 0 - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k)\]
\[0 = - (d_1 + d_2 + \ldots + d_k)\]

Вспомним, что сумма цифр числа \(N\) равна \(d_1 + d_2 + \ldots + d_k\). Подставим это обратно в уравнение:
\[0 = -(\text{сумма цифр числа } N)\]

Теперь мы видим, что сумма цифр числа \(N\) равна нулю.

Итак, какое число имеет сумму цифр, равную нулю? Это число ноль. Значит, \(N\) равно нулю.

Таким образом, ответ на задачу - Петя написал число ноль после первого шага.